star As superfícies f(x, y, z) = x^2 + y^2 - 2 = 0 e g(x, y, z) = x + z - 4 = 0 se encontram em uma elipse E. Encontre as equações paramétricas para a reta tangente a E no ponto (1, 1, 3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas superfícies dadas pelas equações e . Essas duas superfícies se cruzam formando uma elipse . Nosso objetivo é encontrar as equações paramétricas para a reta tangente a essa elipse no ponto específico . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como gradientes e produto vetorial, que ajudam a determinar a direção da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os gradientes das funções e . O gradiente de uma função é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e é dado por .
Para :
No ponto :
Para :

Passo 3

Agora, para encontrar a direção da reta tangente à elipse no ponto dado, a gente precisa achar um vetor que seja perpendicular a ambos os gradientes e . Isso porque a reta tangente está na direção em que as duas superfícies se cruzam. Para isso, usamos o produto vetorial dos gradientes:
Calculando o produto vetorial:

Passo 4

Agora que temos o vetor direção da reta tangente e o ponto , podemos escrever as equações paramétricas da reta. As equações paramétricas de uma reta são dadas por:
Onde é o ponto pela qual a reta passa e são as componentes do vetor direção. Substituindo os valores:

Resposta

As equações paramétricas para a reta tangente à elipse no ponto são:
onde é o parâmetro.

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