Uma partícula termoguiada está localizada no ponto
em uma placa de metal plana cuja temperatura em um ponto
é
. Encontre as equações paramétricas para a trajetória da partícula se ela se mover continuamente na direção de aumento máximo de temperatura.
Passo 1
Então, a gente tem uma partícula que está no ponto
numa placa de metal onde a temperatura em cada ponto
é dada por
. A questão pede para encontrar as equações paramétricas da trajetória dessa partícula se ela se mover sempre na direção de maior aumento da temperatura. Para resolver isso, vamos usar o conceito de gradiente, que indica a direção de maior aumento de uma função.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular o gradiente da função de temperatura
. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e é dado pelas derivadas parciais em relação a
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
Então, o gradiente é:
Passo 4
A trajetória da partícula seguirá a direção do gradiente. Para encontrar as equações paramétricas, vamos montar um sistema de equações diferenciais:
Essas equações dizem como as coordenadas
e
mudam no tempo
.
Passo 5
Vamos resolver as equações diferenciais. Elas são separáveis e têm soluções exponenciais:
Para
:
Como
:
Para
:
Como
:
Resposta
As equações paramétricas da trajetória da partícula são: