Uma partícula termoguiada está localizada no ponto em uma placa de metal plana cuja temperatura em um ponto é . Encontre as equações paramétricas para a trajetória da partícula se ela se mover continuamente na direção de aumento máximo de temperatura.

Passo 1

Então, a gente tem uma partícula que está no ponto numa placa de metal onde a temperatura em cada ponto é dada por . A questão pede para encontrar as equações paramétricas da trajetória dessa partícula se ela se mover sempre na direção de maior aumento da temperatura. Para resolver isso, vamos usar o conceito de gradiente, que indica a direção de maior aumento de uma função.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o gradiente da função de temperatura . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e é dado pelas derivadas parciais em relação a e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
Então, o gradiente é:

Passo 4

A trajetória da partícula seguirá a direção do gradiente. Para encontrar as equações paramétricas, vamos montar um sistema de equações diferenciais:
Essas equações dizem como as coordenadas e mudam no tempo .

Passo 5

Vamos resolver as equações diferenciais. Elas são separáveis e têm soluções exponenciais:
Para :
Como :
Para :
Como :

Resposta

As equações paramétricas da trajetória da partícula são:

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A temperatura (em graus Celsius) em um ponto em uma placa de metal no plano é
Uma formiga em quer caminhar na direção em que a temperatura diminui mais rapidamente. Encontre um vetor unitário nessa direção.
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b) Se e , então
As superfícies e se encontram em uma elipse . Encontre as equações paramétricas para a reta tangente a no ponto .
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