Usando o Wronskiano, mostre a independência linear dos seguintes pares de funções (índices diferentes significam constantes diferentes).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas funções: e . A parada aqui é mostrar que essas duas funções são linearmente independentes usando o Wronskiano. Pra isso, a gente vai precisar saber o que é o Wronskiano e como calcular ele. Não se preocupa se você não sabe muito bem, que eu vou te explicar passo a passo!
Passo 2
Primeiro, o Wronskiano é uma ferramenta que ajuda a verificar se um conjunto de funções é linearmente independente. Para duas funções, o Wronskiano é dado por:
Então, vamos calcular as derivadas das nossas funções:
Para :
Para :
Passo 3
Agora, vamos montar o Wronskiano com essas funções e suas derivadas:
Vamos simplificar essa expressão:
Perceba que os termos com se cancelam:
Resposta
O Wronskiano calculado foi , que é diferente de zero para . Isso mostra que as funções e são linearmente independentes.