Usando o Wronskiano, mostre a independência linear dos seguintes pares de funções (índices diferentes significam constantes diferentes).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas funções: e . A parada aqui é mostrar que essas duas funções são linearmente independentes usando o Wronskiano. Pra isso, a gente vai precisar saber o que é o Wronskiano e como calcular ele. Não se preocupa se você não sabe muito bem, que eu vou te explicar passo a passo!

Passo 2

Primeiro, o Wronskiano é uma ferramenta que ajuda a verificar se um conjunto de funções é linearmente independente. Para duas funções, o Wronskiano é dado por:
Então, vamos calcular as derivadas das nossas funções:
Para :
Para :

Passo 3

Agora, vamos montar o Wronskiano com essas funções e suas derivadas:
Vamos simplificar essa expressão:
Perceba que os termos com se cancelam:

Resposta

O Wronskiano calculado foi , que é diferente de zero para . Isso mostra que as funções e são linearmente independentes.

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Determine para quais valores de pode-se afirmar: se e , então .
Em uma certa montanha, a elevação acima de um ponto em um plano ao nível do mar é dada por , onde e estão em metros. O eixo positivo aponta para o leste e o eixo positivo aponta para o norte. Um alpinista está no ponto (-20, 5, 1991).
Se o alpinista usar uma bússola para caminhar na direção nordeste, ele subirá ou descerá? A que taxa?
As seguintes funções são L.I. ou L.D. sobre o eixo ?
Determine uma EDO linear homogênea para a qual as funções dadas formam uma base de soluções: