Certa pessoa faz hoje uma aplicação de uma instituição financeira que remunera o capital aplicado de acordo com a equação
onde é o valor da aplicação no instante , sendo dado em meses e em reais. Observe que o capital está variando a uma taxa que é proporcional ao valor do capital no instante , sendo de 0,02 o coeficiente de proporcionalidade.
Qual o valor da aplicação daqui a um mês? E daqui a dois meses?

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo diferencial aplicado a finanças. O enunciado nos diz que uma pessoa aplica R$ 5.000,00 em uma instituição que remunera o capital de acordo com a equação diferencial . Aqui, representa o valor da aplicação no tempo (em meses). Precisamos encontrar o valor da aplicação após um e dois meses. Para resolver, vamos utilizar conceitos de equações diferenciais de crescimento exponencial.

Passo 2

Primeiro, identificamos que a equação diferencial é uma equação de crescimento exponencial, onde a taxa de variação do capital é proporcional ao próprio capital. A solução geral dessa equação é dada por:
onde:
  • é o capital inicial (R$ 5.000,00),
  • é a taxa de crescimento (0,02 por mês),
  • é a base do logaritmo natural.

Passo 3

Substituindo os valores na fórmula, temos:
Agora, vamos calcular o valor da aplicação após um mês ( ) e após dois meses ( ).

Passo 4

Para :
Calculando :
Então:

Passo 5

Para :
Calculando :
Então:

Resposta

Após um mês, o valor da aplicação será aproximadamente R$ 5.101,00. Após dois meses, será aproximadamente R$ 5.204,00.

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