Certa pessoa faz hoje uma aplicação de
uma instituição financeira que remunera o capital aplicado de acordo com a equação
onde
é o valor da aplicação no instante
, sendo
dado em meses e
em reais. Observe que o capital
está variando a uma taxa
que é proporcional ao valor do capital no instante
, sendo de 0,02 o coeficiente de proporcionalidade.
Qual o valor da aplicação daqui a um mês? E daqui a dois meses?
Qual o valor da aplicação daqui a um mês? E daqui a dois meses?
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo diferencial aplicado a finanças. O enunciado nos diz que uma pessoa aplica R$ 5.000,00 em uma instituição que remunera o capital de acordo com a equação diferencial
. Aqui,
representa o valor da aplicação no tempo
(em meses). Precisamos encontrar o valor da aplicação após um e dois meses. Para resolver, vamos utilizar conceitos de equações diferenciais de crescimento exponencial.
Passo 2
Primeiro, identificamos que a equação diferencial
é uma equação de crescimento exponencial, onde a taxa de variação do capital é proporcional ao próprio capital. A solução geral dessa equação é dada por:
onde:
-
é o capital inicial (R$ 5.000,00), -
é a taxa de crescimento (0,02 por mês), -
é a base do logaritmo natural.
Passo 3
Substituindo os valores na fórmula, temos:
Agora, vamos calcular o valor da aplicação após um mês (
) e após dois meses (
).
Passo 4
Para
:
Calculando
:
Então:
Passo 5
Para
:
Calculando
:
Então:
Resposta
Após um mês, o valor da aplicação será aproximadamente R$ 5.101,00. Após dois meses, será aproximadamente R$ 5.204,00.
Exercícios relacionados
Determine a solução do problema.
Há um modelo para variação populacional em que se supõe que a taxa de variação da população no instante
seja proporcional à população
neste instante, com coeficiente de proporcionalidade , sendo
o coeficiente de natalidade e
o de mortalidade. Desse modo, a variação da população
é regida pela equação diferencial linear
neste instante, com coeficiente de proporcionalidade
Suponha que a população no instante
seja
.
Sendo , determine a população no instante
.
Sendo
(Conservação da energia) Suponha que uma partícula de massa
desloca-se sobre o eixo
sob ação da força resultante
, onde
é suposta definida e contínua no intervalo
. Seja
uma primitiva de
. Esta primitiva
é denominada função energia potencial para
. Mostre que se a posição da partícula for dada por
, então existirá uma constante
, tal que para todo
em
, tem-se
(conservação de energia) o que significa que a soma da energia cinética
com a energia potencial
permanece constante durante o movimento.
Determine uma solução que satisfaça a condição inicial dada.