(Conservação da energia) Suponha que uma partícula de massa
desloca-se sobre o eixo
sob ação da força resultante
, onde
é suposta definida e contínua no intervalo
. Seja
uma primitiva de
. Esta primitiva
é denominada função energia potencial para
. Mostre que se a posição da partícula for dada por
, então existirá uma constante
, tal que para todo
em
, tem-se
(conservação de energia) o que significa que a soma da energia cinética
com a energia potencial
permanece constante durante o movimento.
Passo 1
Vamos lá! A questão fala sobre conservação da energia. Basicamente, queremos mostrar que a energia cinética da partícula mais a energia potencial dela permanece constante enquanto ela se move. Para isso, vamos precisar entender o que é força, energia cinética, energia potencial e como elas se relacionam.
Passo 2
Primeiro, lembrando de Newton’s segunda lei, que diz que a força resultante sobre uma partícula é igual à massa dela multiplicada pela aceleração:
Aqui,
é a força que depende da posição
,
é a massa, e
é a aceleração da partícula.
Passo 3
A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, podemos escrever:
Mas também sabemos que a velocidade é a derivada da posição:
Então, a aceleração pode ser expressa como a segunda derivada da posição:
Passo 4
Agora, substituindo a expressão da aceleração na segunda lei de Newton:
Isso relaciona a força com a posição da partícula ao longo do tempo.
Passo 5
A questão define
como uma primitiva de
. Uma primitiva é basicamente uma antiderivada. Então, temos:
Isso significa que a força
está relacionada à energia potencial da partícula.
Passo 6
Agora, vamos pensar na energia cinética (
) da partícula, que é dada por:
E a energia potencial (
) já definida como
. A conservação da energia nos diz que a soma dessas duas energias permanece constante:
Ou seja:
Passo 7
Para mostrar isso matematicamente, vamos derivar a expressão da energia total em relação ao tempo e mostrar que essa derivada é zero.
Derivando:
Simplificando:
Passo 8
Lembrando que
, e
(porque
é uma primitiva de
), substituímos:
Isso mostra que a derivada da energia total é zero, ou seja, a energia total permanece constante.
Resposta
Portanto, mostramos que:
A soma da energia cinética com a energia potencial permanece constante durante o movimento da partícula.
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