(Conservação da energia) Suponha que uma partícula de massa desloca-se sobre o eixo sob ação da força resultante , onde é suposta definida e contínua no intervalo . Seja uma primitiva de . Esta primitiva é denominada função energia potencial para . Mostre que se a posição da partícula for dada por , então existirá uma constante , tal que para todo em , tem-se
(conservação de energia) o que significa que a soma da energia cinética com a energia potencial permanece constante durante o movimento.

Passo 1

Vamos lá! A questão fala sobre conservação da energia. Basicamente, queremos mostrar que a energia cinética da partícula mais a energia potencial dela permanece constante enquanto ela se move. Para isso, vamos precisar entender o que é força, energia cinética, energia potencial e como elas se relacionam.

Passo 2

Primeiro, lembrando de Newton’s segunda lei, que diz que a força resultante sobre uma partícula é igual à massa dela multiplicada pela aceleração:
Aqui, é a força que depende da posição , é a massa, e é a aceleração da partícula.

Passo 3

A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, podemos escrever:
Mas também sabemos que a velocidade é a derivada da posição:
Então, a aceleração pode ser expressa como a segunda derivada da posição:

Passo 4

Agora, substituindo a expressão da aceleração na segunda lei de Newton:
Isso relaciona a força com a posição da partícula ao longo do tempo.

Passo 5

A questão define como uma primitiva de . Uma primitiva é basicamente uma antiderivada. Então, temos:
Isso significa que a força está relacionada à energia potencial da partícula.

Passo 6

Agora, vamos pensar na energia cinética ( ) da partícula, que é dada por:
E a energia potencial ( ) já definida como . A conservação da energia nos diz que a soma dessas duas energias permanece constante:
Ou seja:

Passo 7

Para mostrar isso matematicamente, vamos derivar a expressão da energia total em relação ao tempo e mostrar que essa derivada é zero.
Derivando:
Simplificando:

Passo 8

Lembrando que , e (porque é uma primitiva de ), substituímos:
Isso mostra que a derivada da energia total é zero, ou seja, a energia total permanece constante.

Resposta

Portanto, mostramos que:
A soma da energia cinética com a energia potencial permanece constante durante o movimento da partícula.

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Determine a solução do problema.
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(2.0) Classifique as equações diferenciais, quanto ao tipo, a ordem e a linearidade.
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