(Conservação da energia) Suponha que uma partícula de massa m desloca-se sobre o eixo x sob ação da força resultante f(x) i, onde f é suposta definida e contínua no intervalo J. Seja U(x) uma primitiva de -f(x). Esta primitiva U(x) é denominada função energia potencial para f. Mostre que se a posição da partícula for dada por x = x(t), t pertence a I, então existirá uma constante C, tal que para todo t em I, tem-se
1/2 m v^2 + U(x) = c
(conservação de energia) o que significa que a soma da energia cinética 1/2 m v^2 com a energia potencial U(x) permanece constante durante o movimento.

Passo 1

Vamos lá! A questão fala sobre conservação da energia. Basicamente, queremos mostrar que a energia cinética da partícula mais a energia potencial dela permanece constante enquanto ela se move. Para isso, vamos precisar entender o que é força, energia cinética, energia potencial e como elas se relacionam.

Passo 2

Primeiro, lembrando de Newton’s segunda lei, que diz que a força resultante sobre uma partícula é igual à massa dela multiplicada pela aceleração:
Aqui, f(x) é a força que depende da posição x, m é a massa, e a é a aceleração da partícula.

Passo 3

A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, podemos escrever:
Mas também sabemos que a velocidade é a derivada da posição:
Então, a aceleração pode ser expressa como a segunda derivada da posição:

Passo 4

Agora, substituindo a expressão da aceleração na segunda lei de Newton:
Isso relaciona a força com a posição da partícula ao longo do tempo.

Passo 5

A questão define U(x) como uma primitiva de -f(x). Uma primitiva é basicamente uma antiderivada. Então, temos:
Isso significa que a força f(x) está relacionada à energia potencial da partícula.

Passo 6

Agora, vamos pensar na energia cinética ( ) da partícula, que é dada por:
E a energia potencial ( ) já definida como U(x). A conservação da energia nos diz que a soma dessas duas energias permanece constante:
Ou seja:

Passo 7

Para mostrar isso matematicamente, vamos derivar a expressão da energia total em relação ao tempo e mostrar que essa derivada é zero.
Derivando:
Simplificando:

Passo 8

Lembrando que , e (porque U(x) é uma primitiva de -f(x)), substituímos:
Isso mostra que a derivada da energia total é zero, ou seja, a energia total permanece constante.

Resposta

Portanto, mostramos que:
A soma da energia cinética com a energia potencial permanece constante durante o movimento da partícula.

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