Determine uma solução que satisfaça a condição inicial dada.
Passo 1
Então, a gente tem um problema de equação diferencial que precisa encontrar uma solução que satisfaça a condição inicial dada. A equação é
com
. Vamos usar o método das equações lineares para resolver isso, que envolve encontrar um fator integrante que facilita a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial em uma forma mais padrão, que é $ \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) $.
Dividindo ambos os lados da equação original por
, temos:
Agora, identificamos
e
.
Passo 3
Vamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Calculando a integral no expoente:
Portanto, o fator integrante é:
Como estamos trabalhando com soluções reais, podemos considerar
.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Isso simplifica para:
Aqui, usamos o fato de que a expressão à esquerda é a derivada do produto
.
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados da equação:
O que resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Resolvemos para
isolando na equação:
Simplificando, temos:
Resposta
A solução que satisfaz a condição inicial é: