Determine uma solução que satisfaça a condição inicial dada.
d y/d x = (x + 2 y) / (1 - 2 x), y(1) = 1

Passo 1

Então, a gente tem um problema de equação diferencial que precisa encontrar uma solução que satisfaça a condição inicial dada. A equação é com . Vamos usar o método das equações lineares para resolver isso, que envolve encontrar um fator integrante que facilita a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial em uma forma mais padrão, que é $ \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) $.
Dividindo ambos os lados da equação original por , temos:
Agora, identificamos e .

Passo 3

Vamos encontrar o fator integrante mu(x), que é dado por:
Calculando a integral no expoente:
Portanto, o fator integrante é:
Como estamos trabalhando com soluções reais, podemos considerar .

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante mu(x):
Isso simplifica para:
Aqui, usamos o fato de que a expressão à esquerda é a derivada do produto .

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados da equação:
O que resulta em:
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Resolvemos para y isolando na equação:
Simplificando, temos:

Resposta

A solução que satisfaz a condição inicial é:

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