Determine uma solução que satisfaça a condição inicial dada.
Passo 1
Então, a gente tem um problema de equação diferencial que precisa encontrar uma solução que satisfaça a condição inicial dada. A equação é
com
. Vamos usar o método das equações lineares para resolver isso, que envolve encontrar um fator integrante que facilita a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial em uma forma mais padrão, que é $ \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) $.
Dividindo ambos os lados da equação original por
, temos:
Agora, identificamos
e
.
Passo 3
Vamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Calculando a integral no expoente:
Portanto, o fator integrante é:
Como estamos trabalhando com soluções reais, podemos considerar
.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Isso simplifica para:
Aqui, usamos o fato de que a expressão à esquerda é a derivada do produto
.
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados da equação:
O que resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Resolvemos para
isolando na equação:
Simplificando, temos:
Resposta
A solução que satisfaz a condição inicial é:
Exercícios relacionados
(Conservação da energia) Suponha que uma partícula de massa
desloca-se sobre o eixo
sob ação da força resultante
, onde
é suposta definida e contínua no intervalo
. Seja
uma primitiva de
. Esta primitiva
é denominada função energia potencial para
. Mostre que se a posição da partícula for dada por
, então existirá uma constante
, tal que para todo
em
, tem-se
(conservação de energia) o que significa que a soma da energia cinética
com a energia potencial
permanece constante durante o movimento.
Certa pessoa faz hoje uma aplicação de
uma instituição financeira que remunera o capital aplicado de acordo com a equação
onde
é o valor da aplicação no instante
, sendo
dado em meses e
em reais. Observe que o capital
está variando a uma taxa
que é proporcional ao valor do capital no instante
, sendo de 0,02 o coeficiente de proporcionalidade.
Qual o valor da aplicação daqui a um mês? E daqui a dois meses?
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(2.0) Classifique as equações diferenciais, quanto ao tipo, a ordem e a linearidade.
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