Determine a solução do problema.
ddot(x) - 5 dot(x) = 0, x(0) = 2, dot(x)(0) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O que temos aqui é uma equação diferencial do segundo grau: , com as condições iniciais e . Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares de coeficientes constantes para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial . Para isso, a gente monta a equação característica associada:

Passo 3

Agora, resolvemos a equação característica para encontrar os valores de r. Fatorando, temos:
Então, as raízes são:

Passo 4

Com as raízes em mãos, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Substituindo os valores dos r:

Passo 5

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar os valores das constantes e .
Primeira condição:
Segunda condição:
Primeiro, vamos derivar x(t):
Aplicando :

Passo 6

Com , voltamos à primeira equação para encontrar :

Resposta

A solução do problema é:

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