Determine a solução do problema.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O que temos aqui é uma equação diferencial do segundo grau:
, com as condições iniciais
e
. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares de coeficientes constantes para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial
. Para isso, a gente monta a equação característica associada:
Passo 3
Agora, resolvemos a equação característica para encontrar os valores de
. Fatorando, temos:
Então, as raízes são:
Passo 4
Com as raízes em mãos, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Substituindo os valores dos
:
Passo 5
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar os valores das constantes
e
.
Primeira condição:
Segunda condição:
Primeiro, vamos derivar
:
Aplicando
:
Passo 6
Com
, voltamos à primeira equação para encontrar
:
Resposta
A solução do problema é:
Exercícios relacionados
Há um modelo para variação populacional em que se supõe que a taxa de variação da população no instante
seja proporcional à população
neste instante, com coeficiente de proporcionalidade , sendo
o coeficiente de natalidade e
o de mortalidade. Desse modo, a variação da população
é regida pela equação diferencial linear
neste instante, com coeficiente de proporcionalidade
Suponha que a população no instante
seja
.
Sendo , determine a população no instante
.
Sendo
Determine uma solução que satisfaça a condição inicial dada.
Certa pessoa faz hoje uma aplicação de
uma instituição financeira que remunera o capital aplicado de acordo com a equação
onde
é o valor da aplicação no instante
, sendo
dado em meses e
em reais. Observe que o capital
está variando a uma taxa
que é proporcional ao valor do capital no instante
, sendo de 0,02 o coeficiente de proporcionalidade.
Qual o valor da aplicação daqui a um mês? E daqui a dois meses?
Qual o valor da aplicação daqui a um mês? E daqui a dois meses?
(Conservação da energia) Suponha que uma partícula de massa
desloca-se sobre o eixo
sob ação da força resultante
, onde
é suposta definida e contínua no intervalo
. Seja
uma primitiva de
. Esta primitiva
é denominada função energia potencial para
. Mostre que se a posição da partícula for dada por
, então existirá uma constante
, tal que para todo
em
, tem-se
(conservação de energia) o que significa que a soma da energia cinética
com a energia potencial
permanece constante durante o movimento.