Determine a solução do problema.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O que temos aqui é uma equação diferencial do segundo grau: , com as condições iniciais e . Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares de coeficientes constantes para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial . Para isso, a gente monta a equação característica associada:

Passo 3

Agora, resolvemos a equação característica para encontrar os valores de . Fatorando, temos:
Então, as raízes são:

Passo 4

Com as raízes em mãos, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Substituindo os valores dos :

Passo 5

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar os valores das constantes e .
Primeira condição:
Segunda condição:
Primeiro, vamos derivar :
Aplicando :

Passo 6

Com , voltamos à primeira equação para encontrar :

Resposta

A solução do problema é:

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Há um modelo para variação populacional em que se supõe que a taxa de variação da população no instante seja proporcional à população
neste instante, com coeficiente de proporcionalidade , sendo o coeficiente de natalidade e o de mortalidade. Desse modo, a variação da população é regida pela equação diferencial linear
Suponha que a população no instante seja .
Sendo , determine a população no instante .
Determine uma solução que satisfaça a condição inicial dada.
Certa pessoa faz hoje uma aplicação de uma instituição financeira que remunera o capital aplicado de acordo com a equação
onde é o valor da aplicação no instante , sendo dado em meses e em reais. Observe que o capital está variando a uma taxa que é proporcional ao valor do capital no instante , sendo de 0,02 o coeficiente de proporcionalidade.
Qual o valor da aplicação daqui a um mês? E daqui a dois meses?
(Conservação da energia) Suponha que uma partícula de massa desloca-se sobre o eixo sob ação da força resultante , onde é suposta definida e contínua no intervalo . Seja uma primitiva de . Esta primitiva é denominada função energia potencial para . Mostre que se a posição da partícula for dada por , então existirá uma constante , tal que para todo em , tem-se
(conservação de energia) o que significa que a soma da energia cinética com a energia potencial permanece constante durante o movimento.