Determine a solução do problema.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O que temos aqui é uma equação diferencial do segundo grau:
, com as condições iniciais
e
. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares de coeficientes constantes para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial
. Para isso, a gente monta a equação característica associada:
Passo 3
Agora, resolvemos a equação característica para encontrar os valores de
. Fatorando, temos:
Então, as raízes são:
Passo 4
Com as raízes em mãos, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Substituindo os valores dos
:
Passo 5
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar os valores das constantes
e
.
Primeira condição:
Segunda condição:
Primeiro, vamos derivar
:
Aplicando
:
Passo 6
Com
, voltamos à primeira equação para encontrar
:
Resposta
A solução do problema é: