Há um modelo para variação populacional em que se supõe que a taxa de variação da população no instante t seja proporcional à população
neste instante, com coeficiente de proporcionalidade lambda = alpha - beta, sendo alpha o coeficiente de natalidade e beta o de mortalidade. Desse modo, a variação da população p = p(t) é regida pela equação diferencial linear
d p/d t = lambda p
Suponha que a população no instante t = 0 seja p0.
Sendo alpha != beta, determine a população no instante t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre como a população muda ao longo do tempo. A gente vai usar equações diferenciais, que são tipo equações que descrevem como algo varia. Aqui, precisamos resolver uma equação que mostra como a população muda no tempo .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação que a gente tem:
Onde . é a taxa de natalidade e é a taxa de mortalidade. Isso significa que a mudança na população depende dela mesma multiplicada por essa taxa .

Passo 3

Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, a gente pode separar as variáveis ou usar o método da integração direta. Vou mostrar a separação das variáveis.
Primeiro, vamos separar e :

Passo 4

Agora, vamos integrar os dois lados. A gente integra em relação a e em relação a :
Isso resulta em:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Para resolver para , vamos eliminar o logaritmo tirando a exponencial dos dois lados:
Podemos simplificar para uma nova constante :

Passo 6

Agora, usamos a condição inicial que a população no tempo é :
Então, substituindo por , a solução final fica:

Resposta

A população no instante é dada por:

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