Há um modelo para variação populacional em que se supõe que a taxa de variação da população no instante
seja proporcional à população
neste instante, com coeficiente de proporcionalidade
, sendo
o coeficiente de natalidade e
o de mortalidade. Desse modo, a variação da população
é regida pela equação diferencial linear
Suponha que a população no instante
seja
.
Sendo
, determine a população no instante
.
neste instante, com coeficiente de proporcionalidade
Sendo
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre como a população muda ao longo do tempo. A gente vai usar equações diferenciais, que são tipo equações que descrevem como algo varia. Aqui, precisamos resolver uma equação que mostra como a população
muda no tempo
.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação que a gente tem:
Onde
.
é a taxa de natalidade e
é a taxa de mortalidade. Isso significa que a mudança na população depende dela mesma multiplicada por essa taxa
.
Passo 3
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, a gente pode separar as variáveis ou usar o método da integração direta. Vou mostrar a separação das variáveis.
Primeiro, vamos separar
e
:
Passo 4
Agora, vamos integrar os dois lados. A gente integra
em relação a
e
em relação a
:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Para resolver para
, vamos eliminar o logaritmo tirando a exponencial dos dois lados:
Podemos simplificar
para uma nova constante
:
Passo 6
Agora, usamos a condição inicial que a população no tempo
é
:
Então, substituindo
por
, a solução final fica:
Resposta
A população no instante
é dada por:
Exercícios relacionados
Determine uma solução que satisfaça a condição inicial dada.
Suponha que o movimento de uma partícula no eixo
seja regido pela equação
Mostre que a relação entre
e
, é dada por uma curva fechada.
Determine a solução do problema.
Certa pessoa faz hoje uma aplicação de
uma instituição financeira que remunera o capital aplicado de acordo com a equação
onde
é o valor da aplicação no instante
, sendo
dado em meses e
em reais. Observe que o capital
está variando a uma taxa
que é proporcional ao valor do capital no instante
, sendo de 0,02 o coeficiente de proporcionalidade.
Qual o valor da aplicação daqui a um mês? E daqui a dois meses?
Qual o valor da aplicação daqui a um mês? E daqui a dois meses?