Seguindo as etapas abaixo:
(i). Determine todos os pontos de interseção com os eixos e ,
(ii). Determine as assíntotas,
(iii). Determine os intervalos de crescimento e decresciment,
(iv). Determine todos os pontos de máximo e mínimo locais,
(v). Determine os intervalos com concavidade para cima e para baixo.
Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer é analisar a função . Vamos estudar diferentes aspectos dessa função, como onde ela cruza os eixos e , suas assíntotas, onde está crescendo ou diminuindo, pontos de máximo e mínimo, e a concavidade. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra e cálculo, como derivadas e análise de gráficos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção com os eixos e .
Interseção com o eixo :
Para encontrar onde a função cruza o eixo , substituímos :
Então, a função cruza o eixo no ponto .
Interseção com o eixo :
Para encontrar onde a função cruza o eixo , resolvemos :
Isso acontece quando o numerador é zero:
Como não pode ser negativo, não há interseção com o eixo .

Passo 3

Agora, vamos determinar as assíntotas da função. Assíntotas são linhas que a função se aproxima, mas nunca toca.
Assíntotas verticais:
Ocorram quando o denominador é zero:
Então, temos assíntotas verticais em e .
Assíntotas horizontais:
Analisamos o limite de quando tende ao infinito:
Portanto, há uma assíntota horizontal em .

Passo 4

Vamos determinar agora os intervalos onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, precisamos da primeira derivada .
Primeiro, calculamos usando a regra do quociente:
Agora, analisamos o sinal de :
O denominador é sempre positivo, então o sinal de depende de :
  • Se , : função crescente.
  • Se , : função decrescente.
  • Se , : ponto crítico.
Então, a função está crescendo para e decrescendo para .

Passo 5

Vamos identificar os pontos de máximo e mínimo locais. Olhando para a derivada, vemos que em a derivada é zero.
Analisando o comportamento da derivada ao redor de :
  • Para , : função decresce.
  • Para , : função cresce.
Isso indica que em temos um ponto de mínimo local.
Calculamos , então o ponto de mínimo é .

Passo 6

Por fim, vamos determinar os intervalos de concavidade da função. Para isso, calculamos a segunda derivada .
Primeira derivada:
Calculando a segunda derivada usando a regra do quociente:
Simplificando:
Agora, analisamos o sinal de :
O numerador é sempre positivo. O denominador depende de :
  • Para , : , concavidade para cima.
  • Para , : , concavidade para baixo.
Então, a função é côncava para cima no intervalo e côncava para baixo em .

Resposta

A função possui:
  • Interseção com o eixo : no ponto .
  • Nenhuma interseção com o eixo .
  • Assíntotas verticais: e .
  • Assíntota horizontal: .
  • Intervalos de crescimento: .
  • Intervalos de decrescimento: .
  • Ponto de mínimo local: .
  • Concavidade para cima: no intervalo .
  • Concavidade para baixo: nos intervalos e .
Com essas informações, é possível esboçar o gráfico da função considerando as interseções, assíntotas, comportamento crescente/decrescente e concavidade.

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