Seguindo as etapas abaixo:
(i). Determine todos os pontos de interseção com os eixos
e
,
(ii). Determine as assíntotas,
(iii). Determine os intervalos de crescimento e decresciment,
(iv). Determine todos os pontos de máximo e mínimo locais,
(v). Determine os intervalos com concavidade para cima e para baixo.
Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo:
(i). Determine todos os pontos de interseção com os eixos
(ii). Determine as assíntotas,
(iii). Determine os intervalos de crescimento e decresciment,
(iv). Determine todos os pontos de máximo e mínimo locais,
(v). Determine os intervalos com concavidade para cima e para baixo.
Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer é analisar a função
. Vamos estudar diferentes aspectos dessa função, como onde ela cruza os eixos
e
, suas assíntotas, onde está crescendo ou diminuindo, pontos de máximo e mínimo, e a concavidade. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra e cálculo, como derivadas e análise de gráficos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção com os eixos
e
.
Interseção com o eixo
:
Para encontrar onde a função cruza o eixo
, substituímos
:
Então, a função cruza o eixo
no ponto
.
Interseção com o eixo
:
Para encontrar onde a função cruza o eixo
, resolvemos
:
Isso acontece quando o numerador é zero:
Como
não pode ser negativo, não há interseção com o eixo
.
Passo 3
Agora, vamos determinar as assíntotas da função. Assíntotas são linhas que a função se aproxima, mas nunca toca.
Assíntotas verticais:
Ocorram quando o denominador é zero:
Então, temos assíntotas verticais em
e
.
Assíntotas horizontais:
Analisamos o limite de
quando
tende ao infinito:
Portanto, há uma assíntota horizontal em
.
Passo 4
Vamos determinar agora os intervalos onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, precisamos da primeira derivada
.
Primeiro, calculamos
usando a regra do quociente:
Agora, analisamos o sinal de
:
O denominador
é sempre positivo, então o sinal de
depende de
:
- Se
, : função crescente. - Se
, : função decrescente. - Se
, : ponto crítico.
Então, a função está crescendo para
e decrescendo para
.
Passo 5
Vamos identificar os pontos de máximo e mínimo locais. Olhando para a derivada, vemos que em
a derivada é zero.
Analisando o comportamento da derivada ao redor de
:
- Para
, : função decresce. - Para
, : função cresce.
Isso indica que em
temos um ponto de mínimo local.
Calculamos
, então o ponto de mínimo é
.
Passo 6
Por fim, vamos determinar os intervalos de concavidade da função. Para isso, calculamos a segunda derivada
.
Primeira derivada:
Calculando a segunda derivada usando a regra do quociente:
Simplificando:
Agora, analisamos o sinal de
:
O numerador
é sempre positivo. O denominador depende de
:
- Para
, : , concavidade para cima. - Para
, : , concavidade para baixo.
Então, a função é côncava para cima no intervalo
e côncava para baixo em
.
Resposta
A função
possui:
- Interseção com o eixo
: no ponto . - Nenhuma interseção com o eixo
. - Assíntotas verticais:
e . - Assíntota horizontal:
. - Intervalos de crescimento:
. - Intervalos de decrescimento:
. - Ponto de mínimo local:
. - Concavidade para cima: no intervalo
. - Concavidade para baixo: nos intervalos
e .
Com essas informações, é possível esboçar o gráfico da função considerando as interseções, assíntotas, comportamento crescente/decrescente e concavidade.
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, sabendo que
.
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, faça o que se pede: Determine os valores críticos de
ordem