Detemine os intervalos cujo gráfico possui concavidade para cima e para baixo de:
, sabendo que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente descobrir em quais intervalos o gráfico da função
é côncavo para cima e para baixo. A matéria envolvida aqui é o cálculo, mais especificamente a análise da concavidade de uma função usando a segunda derivada. Para resolver isso, vamos precisar da segunda derivada
e analisar onde ela é positiva ou negativa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o gráfico ser côncavo para cima ou para baixo. Se a segunda derivada
for positiva em um intervalo, a função é côncava para cima nesse intervalo. Se for negativa, a função é côncava para baixo.
Passo 3
Vamos analisar a expressão da segunda derivada:
. Sabemos que
é sempre positivo para qualquer valor de
, porque a exponencial nunca é zero ou negativa.
Passo 4
Então, o sinal de
depende apenas do termo
. Vamos resolver
para encontrar os pontos críticos:
Esses são os pontos onde a concavidade pode mudar.
Passo 5
Agora, vamos dividir a reta real em intervalos usando esses pontos críticos:
,
, e
. Vamos testar o sinal de
em cada intervalo.
Passo 6
Escolhemos valores de teste em cada intervalo:
- Para
em :
- Para
em :
- Para
em :
Passo 7
Como
e
, o sinal de
será o mesmo de
. Portanto:
-
quando ou -
quando
Resposta
O gráfico da função
é côncavo para cima nos intervalos
e
, e côncavo para baixo no intervalo
.