Detemine os intervalos cujo gráfico possui concavidade para cima e para baixo de:
, sabendo que .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente descobrir em quais intervalos o gráfico da função é côncavo para cima e para baixo. A matéria envolvida aqui é o cálculo, mais especificamente a análise da concavidade de uma função usando a segunda derivada. Para resolver isso, vamos precisar da segunda derivada e analisar onde ela é positiva ou negativa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o gráfico ser côncavo para cima ou para baixo. Se a segunda derivada for positiva em um intervalo, a função é côncava para cima nesse intervalo. Se for negativa, a função é côncava para baixo.

Passo 3

Vamos analisar a expressão da segunda derivada: . Sabemos que é sempre positivo para qualquer valor de , porque a exponencial nunca é zero ou negativa.

Passo 4

Então, o sinal de depende apenas do termo . Vamos resolver para encontrar os pontos críticos:
Esses são os pontos onde a concavidade pode mudar.

Passo 5

Agora, vamos dividir a reta real em intervalos usando esses pontos críticos: , , e . Vamos testar o sinal de em cada intervalo.

Passo 6

Escolhemos valores de teste em cada intervalo:
  • Para em :
  • Para em :
  • Para em :

Passo 7

Como e , o sinal de será o mesmo de . Portanto:
  • quando ou
  • quando

Resposta

O gráfico da função é côncavo para cima nos intervalos e , e côncavo para baixo no intervalo .

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Determine em que intervalos a função dada é crescente e decrescente e em que intervalos a concavidade da função é para cima e para baixo. Encontre os extremos relativos e pontos de inflexão e faça um esboço da curva da função.
Determine em que intervalos a função dada é crescente e decrescente e em que intervalos a concavidade da função é para cima e para baixo. Encontre os extremos relativos e pontos de inflexão e faça um esboço da curva da função.
Seguindo as etapas abaixo:
(i). Determine todos os pontos de interseção com os eixos e ,
(ii). Determine as assíntotas,
(iii). Determine os intervalos de crescimento e decresciment,
(iv). Determine todos os pontos de máximo e mínimo locais,
(v). Determine os intervalos com concavidade para cima e para baixo.
Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo:
Certa quantidade de ar é bombeada para dentro de uma bexiga esférica a uma taxa de 4,5 polegadas cúbicas por minuto. Determine a taxa de variação do raio quando este atingir 2 polegadas.