Em uma certa região do espaço, o campo magnético tem componentes na direção z e na direção que aponta radialmente pra fora (ou em direção) ao eixo z. A componente
tem magnitude
, onde a constante A é dada por
. A componente radial depende somente de
(a distância radial com relação ao eixo z). Usando a lei de Gauss para o magnetismo, ache a intensidade da componente radial para
. Dê sua resposta em mT .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um campo magnético com duas componentes: uma na direção z, que varia com a posição z, e outra na direção radial, que depende de r, a distância do eixo z. Queremos usar a Lei de Gauss para o magnetismo para descobrir qual é a intensidade da componente radial quando r é 1 cm. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre campos magnéticos e como aplicar essa lei para achar a componente que precisamos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que a Lei de Gauss para o magnetismo diz. Ela afirma que a fluxo magnético total através de uma superfície fechada é igual a zero. Isso é representado pela equação:
Onde:
-
é o campo magnético, -
é um elemento de área da superfície fechada .
Passo 3
Agora, vamos escolher uma superfície gaussiana adequada para facilitar os cálculos. Como o campo radial só depende de r, uma boa escolha é um cilindro coaxial com o eixo z. Esse cilindro terá:
- Altura
, - Raio
.
Passo 4
Vamos calcular o fluxo magnético através das diferentes partes do cilindro:
- Topo e base do cilindro: Aqui, a área vetorial é na direção z. O campo magnético nessa direção é
. A integração desse campo sobre o topo e a base dependerá da posição z, mas, por simetria, o fluxo magnético total através dessas superfícies será zero quando consideramos as contribuições positivas e negativas. - Superfície lateral do cilindro: Aqui, a área vetorial é radial. O campo magnético nessa direção é
. O fluxo magnético através da superfície lateral é então:
Passo 5
Aplicando a Lei de Gauss para o magnetismo, temos que a soma dos fluxos é igual a zero:
Como
, fica:
Mas queremos encontrar
não zero. Isso sugere que o fluxo radial está equilibrando alguma outra contribuição, mas devido à simetria e à forma do campo, concluímos que:
No entanto, isso contradiz a presença da componente radial, indicando que precisamos considerar a variação de
com z.
Passo 6
Vamos reconsiderar o cálculo do fluxo considerando a variação de
. Integrando
ao longo da altura do cilindro, obtemos:
E similarmente para a base, mas com sinal oposto. Portanto, o fluxo total através das placas é:
Aplicando a Lei de Gauss:
Isso sugere que, para manter a Lei de Gauss, a componente radial
deve ser zero, já que a componente z não contribui para o fluxo líquido.
Resposta
A intensidade da componente radial para
é
.