Em uma certa região do espaço, o campo magnético tem componentes na direção z e na direção que aponta radialmente pra fora (ou em direção) ao eixo z. A componente z tem magnitude Bz=A z, onde a constante A é dada por A=4,69 mT / cm. A componente radial depende somente de r (a distância radial com relação ao eixo z). Usando a lei de Gauss para o magnetismo, ache a intensidade da componente radial para r=1 cm. Dê sua resposta em mT .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um campo magnético com duas componentes: uma na direção z, que varia com a posição z, e outra na direção radial, que depende de r, a distância do eixo z. Queremos usar a Lei de Gauss para o magnetismo para descobrir qual é a intensidade da componente radial quando r é 1 cm. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre campos magnéticos e como aplicar essa lei para achar a componente que precisamos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que a Lei de Gauss para o magnetismo diz. Ela afirma que a fluxo magnético total através de uma superfície fechada é igual a zero. Isso é representado pela equação:
ointS B cdot dS = 0
Onde:
  • B é o campo magnético,
  • dS é um elemento de área da superfície fechada S.

Passo 3

Agora, vamos escolher uma superfície gaussiana adequada para facilitar os cálculos. Como o campo radial só depende de r, uma boa escolha é um cilindro coaxial com o eixo z. Esse cilindro terá:
  • Altura h,
  • Raio r = 1 cm.

Passo 4

Vamos calcular o fluxo magnético através das diferentes partes do cilindro:
  1. Topo e base do cilindro: Aqui, a área vetorial é na direção z. O campo magnético nessa direção é Bz = A z. A integração desse campo sobre o topo e a base dependerá da posição z, mas, por simetria, o fluxo magnético total através dessas superfícies será zero quando consideramos as contribuições positivas e negativas.
  2. Superfície lateral do cilindro: Aqui, a área vetorial é radial. O campo magnético nessa direção é Br. O fluxo magnético através da superfície lateral é então:
Philateral = Br cdot 2pi r h

Passo 5

Aplicando a Lei de Gauss para o magnetismo, temos que a soma dos fluxos é igual a zero:
Phitopo + Phibase + Philateral = 0
Como Phitopo + Phibase = 0, fica:
Br cdot 2pi r h = 0
Mas queremos encontrar Br não zero. Isso sugere que o fluxo radial está equilibrando alguma outra contribuição, mas devido à simetria e à forma do campo, concluímos que:
Br = 0
No entanto, isso contradiz a presença da componente radial, indicando que precisamos considerar a variação de Bz com z.

Passo 6

Vamos reconsiderar o cálculo do fluxo considerando a variação de Bz = A z. Integrando Bz ao longo da altura do cilindro, obtemos:
Phitopo = integral Bz , dS = integral A z , dS = A h cdot pi r^2
E similarmente para a base, mas com sinal oposto. Portanto, o fluxo total através das placas é:
Phitotal = A h cdot pi r^2 - A h cdot pi r^2 + Br cdot 2pi r h = Br cdot 2pi r h
Aplicando a Lei de Gauss:
Br cdot 2pi r h = 0 Rightarrow Br = 0
Isso sugere que, para manter a Lei de Gauss, a componente radial Br deve ser zero, já que a componente z não contribui para o fluxo líquido.

Resposta

A intensidade da componente radial para r = 1 cm é Br = 0 mT.

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