Em uma certa região do espaço, o campo magnético tem componentes na direção z e na direção que aponta radialmente pra fora (ou em direção) ao eixo z. A componente tem magnitude , onde a constante A é dada por . A componente radial depende somente de (a distância radial com relação ao eixo z). Usando a lei de Gauss para o magnetismo, ache a intensidade da componente radial para . Dê sua resposta em mT .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um campo magnético com duas componentes: uma na direção z, que varia com a posição z, e outra na direção radial, que depende de r, a distância do eixo z. Queremos usar a Lei de Gauss para o magnetismo para descobrir qual é a intensidade da componente radial quando r é 1 cm. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre campos magnéticos e como aplicar essa lei para achar a componente que precisamos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que a Lei de Gauss para o magnetismo diz. Ela afirma que a fluxo magnético total através de uma superfície fechada é igual a zero. Isso é representado pela equação:
Onde:
  • é o campo magnético,
  • é um elemento de área da superfície fechada .

Passo 3

Agora, vamos escolher uma superfície gaussiana adequada para facilitar os cálculos. Como o campo radial só depende de r, uma boa escolha é um cilindro coaxial com o eixo z. Esse cilindro terá:
  • Altura ,
  • Raio .

Passo 4

Vamos calcular o fluxo magnético através das diferentes partes do cilindro:
  1. Topo e base do cilindro: Aqui, a área vetorial é na direção z. O campo magnético nessa direção é . A integração desse campo sobre o topo e a base dependerá da posição z, mas, por simetria, o fluxo magnético total através dessas superfícies será zero quando consideramos as contribuições positivas e negativas.
  2. Superfície lateral do cilindro: Aqui, a área vetorial é radial. O campo magnético nessa direção é . O fluxo magnético através da superfície lateral é então:

Passo 5

Aplicando a Lei de Gauss para o magnetismo, temos que a soma dos fluxos é igual a zero:
Como , fica:
Mas queremos encontrar não zero. Isso sugere que o fluxo radial está equilibrando alguma outra contribuição, mas devido à simetria e à forma do campo, concluímos que:
No entanto, isso contradiz a presença da componente radial, indicando que precisamos considerar a variação de com z.

Passo 6

Vamos reconsiderar o cálculo do fluxo considerando a variação de . Integrando ao longo da altura do cilindro, obtemos:
E similarmente para a base, mas com sinal oposto. Portanto, o fluxo total através das placas é:
Aplicando a Lei de Gauss:
Isso sugere que, para manter a Lei de Gauss, a componente radial deve ser zero, já que a componente z não contribui para o fluxo líquido.

Resposta

A intensidade da componente radial para é .

Exercícios relacionados

Um dipolo elétrico, cujo momento dipolar vale C.m, está orientado em um ângulo com um campo elétrico constante aplicado externamente ). Calcule: (a) o torque exercido no dipolo pelo campo externo. (b) o trabalho que pode ser realizado pelo dipolo quando seu vetor dipolar se alinha paralelo ao campo externo.
Duas cargas puntiformes (de módulos e sinais desconhecidos) estão separadas entre si por uma distância . (a) que condições devem ser satisfeitas para que se tenha em um ponto pertencente à reta que une as cargas, mas não situado entre elas? Onde se localiza este ponto? (b) Será possível determinar dois pontos (não no infinito) onde se tenha para uma disposição qualquer de duas cargas puntiformes? Em caso afirmativo, quais as exigências a serem preenchidas?
[EXTRA - não vale ponto] Considere um fio reto formado por um cilindro sólido orientado na direção z onde carrega uma densidade de corrente não-uniforme dada pela equação , , onde .
(a) Calcule a corrente total que passa pelo fio. [Dê sua resposta em Ampere (A)]
(b) Calcule o campo para um raio [Dê sua resposta em Tesla (T)]
© Calcule o campo para um raio [Dê sua resposta em Tesla (T)]
Um fio longo e reto encontra-se sobre uma mesa horizontal e conduz uma corrente de ,90e07 A . Em um vácuo, um próton desloca-se paralelamente ao fio com velocidade de v1=2,09e+04 a uma distância d acima do fio. Determine d (em metros). Você pode desprezar o campo magnético devido à Terra. Use que a carga do próton é , sua massa é , a permiabilidade do vácuo é e que a aceleração da gravidade é .