[EXTRA - não vale ponto] Considere um fio reto formado por um cilindro sólido orientado na direção z onde carrega uma densidade de corrente J não-uniforme dada pela equação J=2 I0pi a^2[1-(ra)^2] k r, J=0 r>a, onde a=3 m m, I0=7 A.
(a) Calcule a corrente total que passa pelo fio. [Dê sua resposta em Ampere (A)]
(b) Calcule o campo para um raio r=9 mm [Dê sua resposta em Tesla (T)]
© Calcule o campo para um raio r=1 mm [Dê sua resposta em Tesla (T)]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Eletromagnetismo juntos! A gente tem um fio cilíndrico com uma corrente que não é uniforme. Precisamos calcular a corrente total que passa pelo fio, além dos campos magnéticos em dois pontos diferentes. Para isso, vamos precisar usar conceitos de densidade de corrente e a Lei de Ampère.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a corrente total que passa pelo fio. A corrente total J = 2 I0pi a^2[1-(ra)^2] k para r <= a é a integral da densidade de corrente sobre a área transversal do fio. A densidade de corrente dada é:
E para .

Passo 3

Vamos integrar essa densidade de corrente sobre a área do círculo de raio I = integral J cdot dA = 2 I0pi a^2 integral0^a [1 - (ra)^2] 2pi r dr . Em coordenadas polares, a área diferencial é . Assim, a corrente total é:

Passo 4

Simplificando a expressão:
I = 4 I0a^2 integral0^a (r - r^3a^2) dr
Integrando termo a termo:
integral0^a r , dr = 12 a^2
integral0^a r^3 , dr = 14 a^4
Substituindo de volta:
I = 4 I0a^2 ( 12 a^2 - 14 a^2 ) = 4 I0a^2 cdot 14 a^2 = I0

Passo 5

Então, a corrente total que passa pelo fio é simplesmente .

Resposta

A corrente total que passa pelo fio é .

Exercícios relacionados