Duas cargas puntiformes (de módulos e sinais desconhecidos) estão separadas entre si por uma distância
. (a) que condições devem ser satisfeitas para que se tenha
em um ponto pertencente à reta que une as cargas, mas não situado entre elas? Onde se localiza este ponto? (b) Será possível determinar dois pontos (não no infinito) onde se tenha
para uma disposição qualquer de duas cargas puntiformes? Em caso afirmativo, quais as exigências a serem preenchidas?
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos duas cargas puntiformes, ou seja, cargas concentradas em pontos, com módulos e sinais desconhecidos, separadas por uma distância
. A questão está dividida em duas partes:
(a) Queremos encontrar as condições para que o campo elétrico seja zero em um ponto que está na reta que une as duas cargas, mas fora do segmento que as conecta. Também precisamos determinar onde exatamente esse ponto está localizado.
(b) Precisamos saber se é possível achar dois pontos (que não estejam no infinito) onde o campo elétrico seja zero para qualquer disposição dessas duas cargas. Se sim, quais são as condições que as cargas devem satisfazer.
(a) Queremos encontrar as condições para que o campo elétrico
(b) Precisamos saber se é possível achar dois pontos (que não estejam no infinito) onde o campo elétrico seja zero para qualquer disposição dessas duas cargas. Se sim, quais são as condições que as cargas devem satisfazer.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de campo elétrico gerado por cargas puntiformes e o princípio de superposição dos campos elétricos.
Passo 2
Vamos começar entendendo o campo elétrico de uma carga puntiforme. O campo elétrico
criado por uma carga
em um ponto a uma distância
é dado por:
onde
é a constante eletrostática (
) e
é o vetor unitário na direção de
.
Passo 3
Para que o campo elétrico resultante seja zero em um ponto, os campos elétricos criados por cada carga nesse ponto devem se cancelar mutuamente. Isso significa que:
Considerando que as cargas podem ter sinais diferentes, precisamos analisar os cenários onde seus campos se opõem.
Passo 4
Vamos focar na parte (a). Queremos que
em um ponto na reta que une as cargas, mas fora do segmento entre elas. Vamos chamar as duas cargas de
e
, separadas por uma distância
.
Sem perda de generalidade, suponha que
esteja na posição x = 0 e
na posição x = d.
Se o ponto onde
está fora do segmento, ele pode estar à esquerda de
ou à direita de
.
Passo 5
Para o ponto estar à esquerda de
, a distância do ponto a
seria
e a distância a
seria
.
Usando a condição:
Simplificando:
Passo 6
Da mesma forma, se o ponto estiver à direita de
, a distância a
seria
e a distância a
seria
.
A condição seria:
Passo 7
As condições para que isso ocorra são:
- As cargas devem ter sinais opostos para que os campos se anulem externamente.
- A magnitude das cargas deve ser tal que
no caso à direita ou no caso à esquerda.
Passo 8
Agora, determinamos a localização do ponto onde
. Supondo que
e que
está na esquerda, o ponto estará à esquerda de
. Se
, estará à direita de
.
Isso porque a carga maior determina onde seus campos têm maior influência.
Passo 9
Passando para a parte (b), queremos saber se existem dois pontos onde
para qualquer disposição das duas cargas, sem considerar pontos no infinito.
Para isso, as cargas devem ser de sinais opostos. Se ambas as cargas tiverem o mesmo sinal, os campos elétricos nunca se anulam em dois pontos finitos na reta que as une; eles se anulam apenas no infinito.
Passo 10
Se as cargas têm sinais opostos, sempre existe um ponto à esquerda de uma das cargas e outro à direita da outra onde os campos se anulam. Portanto, as exigências são:
- As duas cargas devem ter sinais opostos.
- As magnitudes das cargas devem permitir que os campos se equilibrem em dois pontos distintos na reta que as une.
Resposta
(a) As duas cargas devem ter sinais opostos e suas magnitudes devem ser tal que o campo de uma cancela o campo da outra fora do segmento que as une. O ponto onde
está localizado fora do intervalo entre as duas cargas, do lado da carga de menor magnitude.
(b) Sim, é possível determinar dois pontos finitos onde para duas cargas puntiformes sempre que as cargas tiverem sinais opostos. Nesse caso, haverá um ponto de cancelamento à esquerda de uma carga e outro à direita da outra.
(b) Sim, é possível determinar dois pontos finitos onde
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