Em certa região do espaço, o potencial elétrico é dado pela relaçâo
Sendo
e
constantes positivas.
(a) Calcule as componentes
e
do campo elétrico. Uluwy
(b) Determine em que pontos o campo elétrico é nulo.
(a) Calcule as componentes
(b) Determine em que pontos o campo elétrico é nulo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de campo elétrico e potencial elétrico, que fazem parte da matéria de Eletrostática. Vamos precisar usar o conceito de que o campo elétrico é o gradiente negativo do potencial elétrico. Então, vamos calcular as componentes do campo elétrico a partir da função do potencial fornecida e, depois, descobrir onde esse campo é nulo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico
está relacionado ao potencial elétrico
pela relação:
Isso significa que cada componente do campo elétrico é o negativo da derivada parcial do potencial em relação àquela coordenada.
Passo 3
Vamos calcular cada componente do campo elétrico:
-
Componente em x (
): Calculamos a derivada parcial deem relação a : Então, -
Componente em y (
): Calculamos a derivada parcial deem relação a : Então, -
Componente em z (
): Observamos quenão depende de , então a derivada parcial em relação a é zero: Portanto,
Passo 4
Agora, temos as componentes do campo elétrico:
Passo 5
Vamos para a parte (b) do exercício, onde precisamos encontrar os pontos em que o campo elétrico é nulo, ou seja,
.
Isso significa que cada componente do campo deve ser igual a zero:
-
Equação para
: -
Equação para
: -
Equação para
: Já sabemos quepara qualquer valor de , então não impõe restrição.
Passo 6
Substituindo o valor de
encontrado na equação para
:
Passo 7
Como
para qualquer
, isso significa que
pode ser qualquer número real. Portanto, os pontos onde o campo elétrico é nulo têm coordenadas:
Resposta
As componentes do campo elétrico são:
O campo elétrico é nulo nos pontos com coordenadas:
Exercícios relacionados
Um capacitor de placas paralelas tem uma carga inicial
e uma distância de separação entre as placas
. Quanto trabalho você deve realizar, em termos de
, e área da placa
, para aumentar a distância de separação para
se:
c) O trabalho que você realiza é positivo em ambos os casos. Explique por que, em uma situação, a energia potencial elétrica aumenta e, na outra, diminui.
c) O trabalho que você realiza é positivo em ambos os casos. Explique por que, em uma situação, a energia potencial elétrica aumenta e, na outra, diminui.
Uma esfera condutora sólida de raio
é inserida em uma casca esférica não condutora e esfericamente neutra com raio externo igual a
e raio interno igual a
, e que é feita de um material com constante dielétrica
. Considere que o potencial no centro da esfera é
. Considere também que o campo elétrico na superfície externa da casca está direcionado para longe da superfície e tem uma magnitude de
.
b) Qual é a carga total na esfera condutora sólida?
b) Qual é a carga total na esfera condutora sólida?
Responda:
(a) Quat é a energia armazenada em um conjunto de 20 capacitores idênticos de , conectados em paralelo e submetidos a uma diferença de potencial do 10 kV ?
(b) Qual é a área necessária para obter um capacitor de placas planas e paralelas de capacitância se a distância entre as placas é de
? Lembre-se de que
.
(a) Quat é a energia armazenada em um conjunto de 20 capacitores idênticos de
(b) Qual é a área necessária para obter um capacitor de placas planas e paralelas de capacitância
A partir dos seguintes potenciais eletrostático em certa região do espaço, determine o vetor campo elétrico em todos os pontos dessa região.
a) , onde
e
são contantes positivas.
b) .
c) , onde
e
são contantes positivas.
d) , onde
é positivo e
.
e) , onde
é positivo e
.
f) , onde
é positivo e
.
Propriedades interessantes: onde
e
são funções escalares.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Propriedades interessantes: