Em certa região do espaço, o potencial elétrico é dado pela relaçâo
V(x, y, z)=C1 x y-2 C2 x^2+12 y
Sendo C1, C2 e C3 constantes positivas.
(a) Calcule as componentes x, y e z do campo elétrico. Uluwy
(b) Determine em que pontos o campo elétrico é nulo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de campo elétrico e potencial elétrico, que fazem parte da matéria de Eletrostática. Vamos precisar usar o conceito de que o campo elétrico é o gradiente negativo do potencial elétrico. Então, vamos calcular as componentes do campo elétrico a partir da função do potencial fornecida e, depois, descobrir onde esse campo é nulo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico E está relacionado ao potencial elétrico V(x, y, z) pela relação:
E = -nabla V
Isso significa que cada componente do campo elétrico é o negativo da derivada parcial do potencial em relação àquela coordenada.

Passo 3

Vamos calcular cada componente do campo elétrico:
  1. Componente em x ( Ex):
    Calculamos a derivada parcial de V em relação a x:
    partial Vpartial x = C1 y - 4 C2 x
    Então,
    Ex = -( C1 y - 4 C2 x )
  2. Componente em y ( Ey):
    Calculamos a derivada parcial de V em relação a y:
    partial Vpartial y = C1 x + 12
    Então,
    Ey = -( C1 x + 12 )
  3. Componente em z ( Ez):
    Observamos que V não depende de z, então a derivada parcial em relação a z é zero:
    partial Vpartial z = 0
    Portanto,
    Ez = 0

Passo 4

Agora, temos as componentes do campo elétrico:
E = ( -C1 y + 4 C2 x ) i + ( -C1 x - 12 ) j + 0 k

Passo 5

Vamos para a parte (b) do exercício, onde precisamos encontrar os pontos em que o campo elétrico é nulo, ou seja, E = 0.
Isso significa que cada componente do campo deve ser igual a zero:
  1. Equação para Ex:
    -C1 y + 4 C2 x = 0 Rightarrow C1 y = 4 C2 x Rightarrow y = 4 C2C1 x
  2. Equação para Ey:
    -C1 x - 12 = 0 Rightarrow C1 x = -12 Rightarrow x = -12 C1
  3. Equação para Ez:
    Já sabemos que Ez = 0 para qualquer valor de z, então não impõe restrição.

Passo 6

Substituindo o valor de x encontrado na equação para y:
y = 4 C2C1 ( -12 C1 ) = -2 C2C1^2

Passo 7

Como Ez = 0 para qualquer z, isso significa que z pode ser qualquer número real. Portanto, os pontos onde o campo elétrico é nulo têm coordenadas:
x = -12 C1, y = -2 C2C1^2, z é qualquer valor é

Resposta

As componentes do campo elétrico são:
E = ( -C1 y + 4 C2 x ) i + ( -C1 x - 12 ) j + 0 k
O campo elétrico é nulo nos pontos com coordenadas:
x = -12 C1, y = -2 C2C1^2, z pode ser qualquer valor

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