Em certa região do espaço, o potencial elétrico é dado pela relaçâo
Sendo e constantes positivas.
(a) Calcule as componentes e do campo elétrico. Uluwy
(b) Determine em que pontos o campo elétrico é nulo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de campo elétrico e potencial elétrico, que fazem parte da matéria de Eletrostática. Vamos precisar usar o conceito de que o campo elétrico é o gradiente negativo do potencial elétrico. Então, vamos calcular as componentes do campo elétrico a partir da função do potencial fornecida e, depois, descobrir onde esse campo é nulo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico está relacionado ao potencial elétrico pela relação:
Isso significa que cada componente do campo elétrico é o negativo da derivada parcial do potencial em relação àquela coordenada.

Passo 3

Vamos calcular cada componente do campo elétrico:
  1. Componente em x ( ):
    Calculamos a derivada parcial de em relação a :
    Então,
  2. Componente em y ( ):
    Calculamos a derivada parcial de em relação a :
    Então,
  3. Componente em z ( ):
    Observamos que não depende de , então a derivada parcial em relação a é zero:
    Portanto,

Passo 4

Agora, temos as componentes do campo elétrico:

Passo 5

Vamos para a parte (b) do exercício, onde precisamos encontrar os pontos em que o campo elétrico é nulo, ou seja, .
Isso significa que cada componente do campo deve ser igual a zero:
  1. Equação para :
  2. Equação para :
  3. Equação para :
    Já sabemos que para qualquer valor de , então não impõe restrição.

Passo 6

Substituindo o valor de encontrado na equação para :

Passo 7

Como para qualquer , isso significa que pode ser qualquer número real. Portanto, os pontos onde o campo elétrico é nulo têm coordenadas:
é

Resposta

As componentes do campo elétrico são:
O campo elétrico é nulo nos pontos com coordenadas:

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Um capacitor de placas paralelas tem uma carga inicial e uma distância de separação entre as placas . Quanto trabalho você deve realizar, em termos de , e área da placa , para aumentar a distância de separação para se:
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Uma esfera condutora sólida de raio é inserida em uma casca esférica não condutora e esfericamente neutra com raio externo igual a e raio interno igual a , e que é feita de um material com constante dielétrica . Considere que o potencial no centro da esfera é . Considere também que o campo elétrico na superfície externa da casca está direcionado para longe da superfície e tem uma magnitude de .
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Responda:
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A partir dos seguintes potenciais eletrostático em certa região do espaço, determine o vetor campo elétrico em todos os pontos dessa região.
a) , onde e são contantes positivas.
b) .
c) , onde e são contantes positivas.
d) , onde é positivo e .
e) , onde é positivo e .
f) , onde é positivo e .
Propriedades interessantes: onde e são funções escalares.