A partir dos seguintes potenciais eletrostático em certa região do espaço, determine o vetor campo elétrico em todos os pontos dessa região.
a) , onde e são contantes positivas.
b) .
c) , onde e são contantes positivas.
d) , onde é positivo e .
e) , onde é positivo e .
f) , onde é positivo e .
Propriedades interessantes: onde e são funções escalares.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de eletrostática juntos! O que a gente precisa fazer é encontrar o vetor campo elétrico E a partir dos potenciais eletrostáticos dados. Para isso, vamos usar a relação entre o campo elétrico e o potencial eletrostático, que é E = -∇V, onde ∇V é o gradiente do potencial. Isso significa que vamos calcular as derivadas parciais do potencial em relação às coordenadas espaciais para achar o campo elétrico.

Passo 2

a) , onde e são constantes positivas.
Primeiro, identificamos que o potencial depende apenas de . Para encontrar o campo elétrico, calculamos o gradiente de :
Como só depende de , as derivadas em relação a e são zero.
Calculando a derivada:
Então, o campo elétrico fica:

Passo 3

b) .
Aqui, o potencial depende de e . Vamos calcular as derivadas parciais em relação a e :
Como não depende de , a derivada em relação a é zero.
Calculando as derivadas:
Então, o campo elétrico é:

Passo 4

c) , onde e são constantes positivas.
O potencial depende apenas de . Vamos calcular o gradiente:
Como só depende de , as derivadas em relação a e são zero.
Calculando a derivada em relação a :
Então, o campo elétrico é:

Passo 5

d) , onde é positivo e .
Aqui, o potencial depende de , que é a coordenada radial no plano . Vamos calcular o gradiente em coordenadas polares:
Como só depende de , as derivadas em relação a e são zero.
Calculando a derivada:
Então, o campo elétrico é:
Em coordenadas cartesianas, isso fica:
onde .

Passo 6

e) , onde é positivo e .
O potencial depende da distância do ponto de origem. Vamos calcular o gradiente:
Calculando as derivadas:
Então, o campo elétrico é:
onde .

Passo 7

f) , onde é positivo e .
O potencial depende de e . Vamos calcular o gradiente:
Calculando as derivadas:
Primeiro, calculamos :
Da mesma forma para :
Agora, para :
Então, o campo elétrico é:
Simplificando:

Resposta

Abaixo estão os vetores campo elétrico para cada potencial dado:
a)
b)
c)
d) , onde
e) , onde
f) , onde

Exercícios relacionados

Responda:
(a) Quat é a energia armazenada em um conjunto de 20 capacitores idênticos de , conectados em paralelo e submetidos a uma diferença de potencial do 10 kV ?
(b) Qual é a área necessária para obter um capacitor de placas planas e paralelas de capacitância se a distância entre as placas é de ? Lembre-se de que .
Em certa região do espaço, o potencial elétrico é dado pela relaçâo
Sendo e constantes positivas.
(a) Calcule as componentes e do campo elétrico. Uluwy
(b) Determine em que pontos o campo elétrico é nulo.
Duas placas condutoras paralelas possuem cargas iguais e opostas em sinal. As placas são grandes comparadas com a distância entre elas. A diferença de potencial entre elas é de e a separação entre elas é de 2 cm.
a) Qual é o valor numérico da densidade superficial de carga nas placas?
b) Qual é o trabalho realizado pelo campo elétrico em um elétron se ele se move da placa negativa para a placa positiva?
c) Qual é o trabalho realizado por um agente externo para retornar o elétron da placa positiva para a placa negativa?
Considere uma distribuição de partículas carregadas com simetria esférica. O módulo da carga para a distribuição é e o raio da distribuição é . O potencial eletrostático varia com a distância radial do centro da distribuição, dado por:
a) Qual é o campo elétrico nessas três regiões? Utilize nos cálculos.
b) Descreva um conjunto de objetos que pode produzir um potencial eletrostático que se comporta dessa maneira.