A partir dos seguintes potenciais eletrostático em certa região do espaço, determine o vetor campo elétrico em todos os pontos dessa região.
a) V(x)=A+B x, onde A e B são contantes positivas.
b) V(x, y)=3 x y-5 y^2.
c) V(z)=2 Araizz^2+a^2, onde A e a são contantes positivas.
d) V(rho)=-K ln rho, onde K é positivo e rho=raizx^2+y^2.
e) V(r)=-Kr, onde K é positivo e r=raizx^2+y^2+z^2.
f) V(r, z)=K zr^3, onde K é positivo e r=raizx^2+y^2+z^2.
Propriedades interessantes: nabla(f g)=g nabla f+f nabla g onde f e g são funções escalares.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de eletrostática juntos! O que a gente precisa fazer é encontrar o vetor campo elétrico E a partir dos potenciais eletrostáticos dados. Para isso, vamos usar a relação entre o campo elétrico e o potencial eletrostático, que é E = -∇V, onde ∇V é o gradiente do potencial. Isso significa que vamos calcular as derivadas parciais do potencial em relação às coordenadas espaciais para achar o campo elétrico.

Passo 2

a) E = -nabla V = -( dVdx i + dVdy j + dVdz k ) , onde dVdx = B e E = -B i são constantes positivas.
Primeiro, identificamos que o potencial depende apenas de . Para encontrar o campo elétrico, calculamos o gradiente de :
Como só depende de , as derivadas em relação a e são zero.
Calculando a derivada:
Então, o campo elétrico fica:

Passo 3

b) E = -nabla V = -( partial Vpartial x i + partial Vpartial y j + partial Vpartial z k ) .
Aqui, o potencial depende de partial Vpartial x = 3y e partial Vpartial y = 3x - 10y . Vamos calcular as derivadas parciais em relação a E = -(3y i + (3x - 10y) j) = -3y i - (3x - 10y) j e :
Como não depende de , a derivada em relação a é zero.
Calculando as derivadas:
Então, o campo elétrico é:

Passo 4

c) E = -nabla V = -( dVdx i + dVdy j + dVdz k ) , onde dVdz = 2A cdot (-z)(z^2 + a^2)^3/2 = -2Az(z^2 + a^2)^3/2 e E = 2Az(z^2 + a^2)^3/2 k são constantes positivas.
O potencial depende apenas de . Vamos calcular o gradiente:
Como só depende de , as derivadas em relação a e são zero.
Calculando a derivada em relação a :
Então, o campo elétrico é:

Passo 5

d) E = -nabla V = -( partial Vpartial rho rho + 1rho partial Vpartial phi phi + partial Vpartial z k ) , onde partial Vpartial rho = -Krho é positivo e E = -( -Krho ) rho = Krho rho .
Aqui, o potencial depende de E = Kxrho^2 i + Kyrho^2 j , que é a coordenada radial no plano . Vamos calcular o gradiente em coordenadas polares:
Como só depende de , as derivadas em relação a e são zero.
Calculando a derivada:
Então, o campo elétrico é:
Em coordenadas cartesianas, isso fica:
onde .

Passo 6

e) E = -nabla V = -( partial Vpartial x i + partial Vpartial y j + partial Vpartial z k ) , onde partial Vpartial x = Kxr^3 é positivo e partial Vpartial y = Kyr^3 .
O potencial depende da distância partial Vpartial z = Kzr^3 do ponto de origem. Vamos calcular o gradiente:
E = -( Kxr^3 i + Kyr^3 j + Kzr^3 k ) = -Kr^3 r
Calculando as derivadas:
Então, o campo elétrico é:
onde .

Passo 7

f) E = -nabla V = -( partial Vpartial x i + partial Vpartial y j + partial Vpartial z k ) , onde partial Vpartial x = Kz cdot (-3x)r^5 = -3Kxzr^5 é positivo e partial Vpartial y = -3Kyzr^5 .
O potencial depende de partial Vpartial z = Kr^3 + Kz cdot ( -3zr^5 ) = Kr^3 - 3Kz^2r^5 e E = -( -3Kxzr^5 i - 3Kyzr^5 j + ( Kr^3 - 3Kz^2r^5 ) k ) . Vamos calcular o gradiente:
E = 3Kxzr^5 i + 3Kyzr^5 j - ( Kr^3 - 3Kz^2r^5 ) k
Calculando as derivadas:
Primeiro, calculamos :
Da mesma forma para :
Agora, para :
Então, o campo elétrico é:
Simplificando:

Resposta

Abaixo estão os vetores campo elétrico para cada potencial dado:
a)
b)
c)
d) , onde
e) , onde
f) , onde

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