A partir dos seguintes potenciais eletrostático em certa região do espaço, determine o vetor campo elétrico em todos os pontos dessa região.
a) , onde e são contantes positivas.
b) .
c) , onde e são contantes positivas.
d) , onde é positivo e .
e) , onde é positivo e .
f) , onde é positivo e .
Propriedades interessantes: onde e são funções escalares.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de eletrostática juntos! O que a gente precisa fazer é encontrar o vetor campo elétrico E a partir dos potenciais eletrostáticos dados. Para isso, vamos usar a relação entre o campo elétrico e o potencial eletrostático, que é E = -∇V, onde ∇V é o gradiente do potencial. Isso significa que vamos calcular as derivadas parciais do potencial em relação às coordenadas espaciais para achar o campo elétrico.
Passo 2
a) , onde e são constantes positivas.
Primeiro, identificamos que o potencial depende apenas de . Para encontrar o campo elétrico, calculamos o gradiente de :
Como só depende de , as derivadas em relação a e são zero.
Calculando a derivada:
Então, o campo elétrico fica:
Passo 3
b) .
Aqui, o potencial depende de e . Vamos calcular as derivadas parciais em relação a e :
Como não depende de , a derivada em relação a é zero.
Calculando as derivadas:
Então, o campo elétrico é:
Passo 4
c) , onde e são constantes positivas.
O potencial depende apenas de . Vamos calcular o gradiente:
Como só depende de , as derivadas em relação a e são zero.
Calculando a derivada em relação a :
Então, o campo elétrico é:
Passo 5
d) , onde é positivo e .
Aqui, o potencial depende de , que é a coordenada radial no plano . Vamos calcular o gradiente em coordenadas polares:
Como só depende de , as derivadas em relação a e são zero.
Calculando a derivada:
Então, o campo elétrico é:
Em coordenadas cartesianas, isso fica:
onde .
Passo 6
e) , onde é positivo e .
O potencial depende da distância do ponto de origem. Vamos calcular o gradiente:
Calculando as derivadas:
Então, o campo elétrico é:
onde .
Passo 7
f) , onde é positivo e .
O potencial depende de e . Vamos calcular o gradiente:
Calculando as derivadas:
Primeiro, calculamos :
Da mesma forma para :
Agora, para :
Então, o campo elétrico é:
Simplificando:
Resposta
Abaixo estão os vetores campo elétrico para cada potencial dado: