A partir dos seguintes potenciais eletrostático em certa região do espaço, determine o vetor campo elétrico em todos os pontos dessa região.
a)
, onde
e
são contantes positivas.
b)
.
c)
, onde
e
são contantes positivas.
d)
, onde
é positivo e
.
e)
, onde
é positivo e
.
f)
, onde
é positivo e
.
Propriedades interessantes:
onde
e
são funções escalares.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Propriedades interessantes:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de eletrostática juntos! O que a gente precisa fazer é encontrar o vetor campo elétrico E a partir dos potenciais eletrostáticos dados. Para isso, vamos usar a relação entre o campo elétrico e o potencial eletrostático, que é E = -∇V, onde ∇V é o gradiente do potencial. Isso significa que vamos calcular as derivadas parciais do potencial em relação às coordenadas espaciais para achar o campo elétrico.
Passo 2
a)
, onde
e
são constantes positivas.
Primeiro, identificamos que o potencial depende apenas de
. Para encontrar o campo elétrico, calculamos o gradiente de
:
Como
só depende de
, as derivadas em relação a
e
são zero.
Calculando a derivada:
Então, o campo elétrico fica:
Passo 3
b)
.
Aqui, o potencial depende de
e
. Vamos calcular as derivadas parciais em relação a
e
:
Como
não depende de
, a derivada em relação a
é zero.
Calculando as derivadas:
Então, o campo elétrico é:
Passo 4
c)
, onde
e
são constantes positivas.
O potencial depende apenas de
. Vamos calcular o gradiente:
Como
só depende de
, as derivadas em relação a
e
são zero.
Calculando a derivada em relação a
:
Então, o campo elétrico é:
Passo 5
d)
, onde
é positivo e
.
Aqui, o potencial depende de
, que é a coordenada radial no plano
. Vamos calcular o gradiente em coordenadas polares:
Como
só depende de
, as derivadas em relação a
e
são zero.
Calculando a derivada:
Então, o campo elétrico é:
Em coordenadas cartesianas, isso fica:
onde
.
Passo 6
e)
, onde
é positivo e
.
O potencial depende da distância
do ponto de origem. Vamos calcular o gradiente:
Calculando as derivadas:
Então, o campo elétrico é:
onde
.
Passo 7
f)
, onde
é positivo e
.
O potencial depende de
e
. Vamos calcular o gradiente:
Calculando as derivadas:
Primeiro, calculamos
:
Da mesma forma para
:
Agora, para
:
Então, o campo elétrico é:
Simplificando:
Resposta
Abaixo estão os vetores campo elétrico para cada potencial dado:
a)
b)
c)
d)
, onde
e)
, onde
f)
, onde