Suponha uma função diferenciável de e y e . Use a tabela abaixo para calcular .
3 6 4 8
6 3 -1 1

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função que depende de duas variáveis, e , e outra função que é composta por de uma combinação de e . A gente precisa calcular a derivada parcial de em relação a no ponto . Para resolver isso, vamos usar a regra da cadeia, que é uma técnica de cálculo que ajuda a derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como está definida. A função é dada por:
Isso significa que depende de e através de , que recebe como entradas e .

Passo 3

Para encontrar a derivada parcial de em relação a , vamos aplicar a regra da cadeia. A regra da cadeia para derivadas parciais nos diz que:
Aqui, estamos derivando em relação às suas próprias variáveis e , multiplicadas pelas derivadas das expressões dentro de em relação a .

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas derivadas:
  1. A derivada de em relação a :
  1. A derivada de em relação a :

Passo 5

Agora, substituímos essas derivadas na expressão da regra da cadeia:

Passo 6

Precisamos calcular essa derivada no ponto . Vamos primeiro encontrar os valores de e quando e :
Então, as derivadas parciais de no ponto são:

Passo 7

Também precisamos avaliar e no ponto :

Passo 8

Agora, substituímos todos esses valores na expressão da derivada:

Resposta

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