Suponha f uma função diferenciável de x e y e g(u, v)=f(e^wed>= u+sen(v), e^wed>= u+cos (v)). Use a tabela abaixo para calcular partial g / partial v(0,0).
f g partial f / partial x partial f / partial y
(0,0) 3 6 4 8
(1,2) 6 3 -1 1

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função que depende de duas variáveis, e , e outra função que é composta por de uma combinação de e . A gente precisa calcular a derivada parcial de em relação a no ponto . Para resolver isso, vamos usar a regra da cadeia, que é uma técnica de cálculo que ajuda a derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como g(u, v) = f(e^u + sin(v), e^u + cos(v)) está definida. A função é dada por:
Isso significa que depende de e através de , que recebe como entradas e .

Passo 3

Para encontrar a derivada parcial de partial gpartial v = partial fpartial x cdot partial (e^u + sin(v))partial v + partial fpartial y cdot partial (e^u + cos(v))partial v em relação a , vamos aplicar a regra da cadeia. A regra da cadeia para derivadas parciais nos diz que:
Aqui, estamos derivando em relação às suas próprias variáveis e , multiplicadas pelas derivadas das expressões dentro de em relação a .

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas derivadas:
  1. A derivada de partial (e^u + sin(v))partial v = cos(v) em relação a partial (e^u + cos(v))partial v = -sin(v) :
  1. A derivada de em relação a :

Passo 5

Agora, substituímos essas derivadas na expressão da regra da cadeia:
partial gpartial v = partial fpartial x cdot cos(v) + partial fpartial y cdot (-sin(v))

Passo 6

Precisamos calcular essa derivada no ponto x = e^0 + sin(0) = 1 + 0 = 1 . Vamos primeiro encontrar os valores de y = e^0 + cos(0) = 1 + 1 = 2 e partial fpartial x|(1,2) = -1 quando partial fpartial y|(1,2) = 1 e :
Então, as derivadas parciais de no ponto são:

Passo 7

Também precisamos avaliar cos(0) = 1 e sin(0) = 0 no ponto :

Passo 8

Agora, substituímos todos esses valores na expressão da derivada:
partial gpartial v(0,0) = (-1) cdot 1 + 1 cdot (-0) = -1 + 0 = -1

Resposta

partial gpartial v(0,0) = -1

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