Suponha uma função diferenciável de e y e . Use a tabela abaixo para calcular .
3
6
4
8
6
3
-1
1
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função que depende de duas variáveis, e , e outra função que é composta por de uma combinação de e . A gente precisa calcular a derivada parcial de em relação a no ponto . Para resolver isso, vamos usar a regra da cadeia, que é uma técnica de cálculo que ajuda a derivar funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como está definida. A função é dada por:
Isso significa que depende de e através de , que recebe como entradas e .
Passo 3
Para encontrar a derivada parcial de em relação a , vamos aplicar a regra da cadeia. A regra da cadeia para derivadas parciais nos diz que:
Aqui, estamos derivando em relação às suas próprias variáveis e , multiplicadas pelas derivadas das expressões dentro de em relação a .
Passo 4
Vamos calcular cada uma dessas derivadas:
A derivada de em relação a :
A derivada de em relação a :
Passo 5
Agora, substituímos essas derivadas na expressão da regra da cadeia:
Passo 6
Precisamos calcular essa derivada no ponto . Vamos primeiro encontrar os valores de e quando e :
Então, as derivadas parciais de no ponto são:
Passo 7
Também precisamos avaliar e no ponto :
Passo 8
Agora, substituímos todos esses valores na expressão da derivada: