Determine uma equação do plano tangente à superfície z = e^(x^2 - y^2) no ponto (1, -1, 1) e utilize a função de linearização para aproximar 1,05 ; -0,98.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a equação do plano tangente à superfície no ponto . Além disso, temos que usar a função de linearização para aproximar o valor em . Para isso, vamos precisar entender um pouco de cálculo de derivadas parciais e como encontrar a equação de um plano tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação do plano tangente a uma superfície no ponto é dada por:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de .
Primeiro, a derivada parcial em relação a :
Depois, a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :

Passo 5

Sabemos que no ponto , . Então, substituindo na equação do plano tangente:
Simplificando:
Então, a equação do plano tangente é .

Passo 6

Agora, vamos usar a função de linearização (que é basicamente a equação do plano tangente) para aproximar o valor de em .
Substituindo e na equação do plano:

Resposta

A equação do plano tangente é e, usando a função de linearização, a aproximação de em é aproximadamente .

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