Determine uma equação do plano tangente à superfície
no ponto
e utilize a função de linearização para aproximar
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a equação do plano tangente à superfície
no ponto
. Além disso, temos que usar a função de linearização para aproximar o valor em
. Para isso, vamos precisar entender um pouco de cálculo de derivadas parciais e como encontrar a equação de um plano tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação do plano tangente a uma superfície
no ponto
é dada por:
Aqui,
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
.
Primeiro, a derivada parcial em relação a
:
Depois, a derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
Passo 5
Sabemos que no ponto
,
. Então, substituindo na equação do plano tangente:
Simplificando:
Então, a equação do plano tangente é
.
Passo 6
Agora, vamos usar a função de linearização (que é basicamente a equação do plano tangente) para aproximar o valor de
em
.
Substituindo
e
na equação do plano:
Resposta
A equação do plano tangente é
e, usando a função de linearização, a aproximação de
em
é aproximadamente
.