Encontre o comprimento do arco da curva descrita parametricamente por
de
a
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento do arco de uma curva que é descrita de forma paramétrica. A curva é dada por
e queremos saber o comprimento desse arco quando
varia de 0 a
. Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco em curvas paramétricas e algumas ferramentas de cálculo como derivadas e integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma curva paramétrica. Se a curva é dada por
, então o comprimento do arco de
até
é:
Essa fórmula basicamente soma todas as “peças” pequenas do arco, medindo como a curva se move em cada direção.
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula à nossa curva. Primeiro, precisamos encontrar as derivadas de cada componente de
:
- Para
, a derivada é: - Para
, a derivada é: - Para
, a derivada é um pouco mais trabalhosa. Usando a regra da cadeia:
Passo 4
Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do comprimento do arco:
Simplificando os quadrados:
Sabemos que
, então:
E lembrando que
:
Passo 5
Agora precisamos calcular a integral de
de 0 a
. A integral de
é:
Então, aplicando os limites:
Vamos calcular isso:
Para
:
Então:
Para
:
Então:
Resposta
Portanto, o comprimento do arco da curva de
a
é:
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Seja
a temperatura no ponto
na elipse
e suponha que
$(a) Localize as temperaturas máxima e mínima na elipse examinando
Encontre
, nos seguintes casos:
Encontre
, nos seguintes casos:
Uma certa substância radioativa decai exponencialmente de tal modo que, após 10 anos, ainda restam
da quantidade inicial. Obtenha uma expressão para a quantidade que ainda resta após um número
qualquer de anos. Que quantidade ainda restará após 50 anos? Qual a meia-vida? Quanto tempo é preciso para que reste somente
da quantidade inicial? E para que reste somente
?