Encontre o comprimento do arco da curva descrita parametricamente por
r(t) = <cos(t), sen(t), ln(cos(t))>
de t = 0 a t = pi / 4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento do arco de uma curva que é descrita de forma paramétrica. A curva é dada por
e queremos saber o comprimento desse arco quando varia de 0 a . Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco em curvas paramétricas e algumas ferramentas de cálculo como derivadas e integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma curva paramétrica. Se a curva é dada por , então o comprimento do arco de até é:
Essa fórmula basicamente soma todas as “peças” pequenas do arco, medindo como a curva se move em cada direção.

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula à nossa curva. Primeiro, precisamos encontrar as derivadas de cada componente de :
  • Para , a derivada é:
  • Para , a derivada é:
  • Para , a derivada é um pouco mais trabalhosa. Usando a regra da cadeia:

Passo 4

Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do comprimento do arco:
Simplificando os quadrados:
Sabemos que , então:
E lembrando que :

Passo 5

Agora precisamos calcular a integral de de 0 a . A integral de é:
Então, aplicando os limites:
Vamos calcular isso:
Para :
Então:
Para :
Então:

Resposta

Portanto, o comprimento do arco da curva de a é:

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