Resolver as seguintes equações de Bernoulli: y' + y/x = x y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de Bernoulli que é assim: . Esse tipo de equação pertence à área de Equações Diferenciais e a gente vai precisar entender como transformar a equação de Bernoulli em uma equação linear para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da equação. A equação de Bernoulli geral tem a forma . No nosso caso, , e .

Passo 3

Como e , podemos aplicar uma substituição para transformar a equação de Bernoulli em uma equação linear. Vamos definir .

Passo 4

Agora, vamos derivar em relação a :
Rearranjando, obtemos:

Passo 5

Substituindo na equação original:
Dividindo todos os termos por :
Como , temos:

Passo 6

Reescrevendo a equação:
Agora, temos uma equação linear na forma , onde e .

Passo 7

Vamos calcular o fator integrante :

Passo 8

Multiplicando a equação linear pelo fator integrante:
A equação fica:

Passo 9

Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração.

Passo 10

Resolvendo para :

Passo 11

Lembrando que , temos:

Resposta

A solução geral da equação de Bernoulli é:
onde é uma constante arbitrária.

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