Resolver as seguintes equações de Bernoulli:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de Bernoulli que é assim:
. Esse tipo de equação pertence à área de Equações Diferenciais e a gente vai precisar entender como transformar a equação de Bernoulli em uma equação linear para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da equação. A equação de Bernoulli geral tem a forma
. No nosso caso,
,
e
.
Passo 3
Como
e
, podemos aplicar uma substituição para transformar a equação de Bernoulli em uma equação linear. Vamos definir
.
Passo 4
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Rearranjando, obtemos:
Passo 5
Substituindo
na equação original:
Dividindo todos os termos por
:
Como
, temos:
Passo 6
Reescrevendo a equação:
Agora, temos uma equação linear na forma
, onde
e
.
Passo 7
Vamos calcular o fator integrante
:
Passo 8
Multiplicando a equação linear pelo fator integrante:
A equação fica:
Passo 9
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração.
Passo 10
Resolvendo para
:
Passo 11
Lembrando que
, temos:
Resposta
A solução geral da equação de Bernoulli é:
onde
é uma constante arbitrária.