Em certas situações é possível simplificar o trato vocal humano por um tubo com uma extremidade fechada e outra aberta, com comprimento médio L = 17 cm. No caso, a extremidade aberta do tubo é a boca ao se abrir emitindo o som para o ambiente externo, enquanto que, a extremidade fechada está localizada nas pregas (cordas) vocais, que vibram com a passagem do ar produzindo o som. Na verdade, o sistema vocal (sistema fonador) humano é mais complexo, sendo formado por várias partes que atuam em conjunto. O pulmão e o músculo do diafragma atuam como geradores de pressão, forçando o ar dos pulmões através da traqueia. Músculos específicos fazem as pregas vocais contraírem e relaxarem, provocando uma aproximação entre as mesmas e estreitando a passagem de ar vinda dos pulmões e consequentemente gerando o som que saí pela laringe. A cavidade oral e nasal, junto com a língua e os lábios atua em conjunto para articular a produção de diversos sons característicos da fala humana em diferentes culturas. Considerando a velocidade do som, determine a frequência fundamental e as frequências dos 3 primeiros harmônicos (sobretons) possíveis para o comprimento do trato vocal informado no enunciado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente simplificar o trato vocal humano como um tubo com uma extremidade fechada e outra aberta, onde o comprimento desse tubo é de 17 cm. Basicamente, queremos descobrir qual é a frequência fundamental e as frequências dos 3 primeiros harmônicos (ou sobretons) para esse comprimento de tubo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de ondas estacionárias em tubos com uma extremidade fechada, além da velocidade do som no ar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como as ondas se comportam em um tubo fechado em uma extremidade. Nesse tipo de tubo, também conhecido como tubo de ômbro, as ondas estacionárias formam padrões específicos. A condição principal é que nunca haverá um nó de deslocamento (ponto fixo) na extremidade aberta e sempre haverá um antínodo de deslocamento (ponto onde a amplitude é máxima) na extremidade aberta.
Passo 3
A frequência fundamental, que é a menor frequência que o tubo pode produzir, ocorre quando temos apenas um quarto de comprimento de onda dentro do tubo. A fórmula para a frequência fundamental ($ f_1 $) em um tubo fechado em uma extremidade é:
onde:
- $ v $ é a velocidade do som no ar (vamos usar aproximadamente $ 343 , m/s $),
- $ L $ é o comprimento do tubo.
Passo 4
Vamos calcular a frequência fundamental usando o comprimento dado de 17 cm (ou 0,17 metros):
Então, a frequência fundamental é aproximadamente 504 Hz.
Passo 5
Agora, vamos calcular as frequências dos próximos harmônicos. Em tubos com uma extremidade fechada, os harmônicos são múltiplos ímpares da frequência fundamental. Isso significa que a segunda frequência (primeiro sobreton) é $ 3f_1 $, a terceira é $ 5f_1 $, e assim por diante.
onde $ n $ é o número do harmônico.
Passo 6
Vamos calcular as frequências dos 3 primeiros harmônicos:
- Primeiro Harmônico (n=1):
- Segundo Harmônico (n=2):
- Terceiro Harmônico (n=3):
Resposta
A frequência fundamental é aproximadamente 504 Hz, e os 3 primeiros harmônicos (sobretons) são aproximadamente 1512 Hz, 2520 Hz e 3528 Hz.