Uma esfera condutora uniformemente carregada, de 1,2 m de diâmetro, possui uma densidade superficial de carga de 8,1 mu C / m^2. (a) Determine o valor da carga sobre a esfera. Qual é o fluxo elétrico total (b) dentro da esfera e © que está sendo gerado pela esfera?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma esfera condutora carregada de diâmetro 1,2 metros e uma densidade superficial de carga de . O que precisamos fazer é:
a) Encontrar a carga total na esfera.
b) Calcular o fluxo elétrico total dentro da esfera.
c) Calcular o fluxo elétrico total gerado pela esfera.
Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática, como densidade superficial de carga, área de superfície de uma esfera e a Lei de Gauss para o fluxo elétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a carga total na esfera (parte a). Sabemos que a densidade superficial de carga ( Q = sigma times A ) é a quantidade de carga por unidade de área. A fórmula para a carga total ( r = 1,2 , m2 = 0,6 , m ) é:
A = 4pi r^2
Onde A = 4pi (0,6)^2 = 4pi times 0,36 = 1,44pi , m^2 é a área da superfície da esfera. Como o diâmetro da esfera é 1,2 metros, o raio ( Q = 8,1 times 10^-6 , Cm^2 times 1,44pi , m^2 = 8,1 times 1,44 times pi times 10^-6 , C ) é metade disso:
Q approx 8,1 times 1,44 times 3,1416 times 10^-6 , C approx 36,7 times 10^-6 , C = 3,67 times 10^-5 , C
A área da superfície de uma esfera é dada por:
Substituindo o valor do raio:
Agora, multiplicamos a densidade superficial pela área para encontrar a carga:
Calculando:

Passo 3

Agora, vamos calcular o fluxo elétrico total dentro da esfera (parte b). Para isso, usamos a Lei de Gauss, que relaciona o fluxo elétrico ( Phi = Qintvarepsilon0 ) com a carga interna ( Phidentro = 0varepsilon0 = 0 , N cdot m^2/C ):
Onde é a permissividade do vácuo ( ).
Como a esfera é condutora e toda a carga está na superfície, dentro da esfera não há carga ( ). Portanto:

Passo 4

Por fim, vamos calcular o fluxo elétrico total gerado pela esfera (parte c). Usando novamente a Lei de Gauss, mas agora considerando toda a carga da esfera ( Phi = Qvarepsilon0 ):
Phi = 3,67 times 10^-5 , C8,85 times 10^-12 , C^2/N cdot m^2 approx 4,15 times 10^6 , N cdot m^2/C
Já calculamos . Então:

Resposta

a) A carga total na esfera é aproximadamente .
b) O fluxo elétrico total dentro da esfera é .
c) O fluxo elétrico total gerado pela esfera é aproximadamente .

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