Mostre que o quadrado tem a maior área dentre todos os retângulos inscritos numa dada circunferência .

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de geometria onde precisamos mostrar que o quadrado tem a maior área entre todos os retângulos que estão inscritos em uma circunferência dada por . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e otimização de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um retângulo estar inscrito na circunferência. Isso quer dizer que todos os quatro vértices do retângulo estão sobre a circunferência de raio .

Passo 3

Vamos considerar um retângulo com lados de comprimento e . Como os vértices estão na circunferência , temos que cada vértice satisfaz essa equação. Por exemplo, o vértice deve satisfazer .

Passo 4

A área do retângulo é dada por:
Nosso objetivo é maximizar essa área, ou seja, encontrar os valores de e que tornam o maior possível, dado que .

Passo 5

Para simplificar, podemos usar a restrição para expressar em termos de :

Passo 6

Substituindo na expressão da área:
Agora, queremos maximizar em relação a .

Passo 7

Para encontrar o máximo, vamos derivar em relação a e igualar a derivada a zero:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 8

Substituindo na expressão de :

Passo 9

Portanto, . Isso significa que o retângulo com a maior área inscrito na circunferência é um quadrado, já que os lados são iguais.

Resposta

Concluímos que o quadrado tem a maior área entre todos os retângulos inscritos na circunferência .

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