Mostre que o quadrado tem a maior área dentre todos os retângulos inscritos numa dada circunferência
.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício de geometria onde precisamos mostrar que o quadrado tem a maior área entre todos os retângulos que estão inscritos em uma circunferência dada por
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e otimização de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um retângulo estar inscrito na circunferência. Isso quer dizer que todos os quatro vértices do retângulo estão sobre a circunferência de raio
.
Passo 3
Vamos considerar um retângulo com lados de comprimento
e
. Como os vértices estão na circunferência
, temos que cada vértice satisfaz essa equação. Por exemplo, o vértice
deve satisfazer
.
Passo 4
A área
do retângulo é dada por:
Nosso objetivo é maximizar essa área, ou seja, encontrar os valores de
e
que tornam
o maior possível, dado que
.
Passo 5
Para simplificar, podemos usar a restrição
para expressar
em termos de
:
Passo 6
Substituindo
na expressão da área:
Agora, queremos maximizar
em relação a
.
Passo 7
Para encontrar o máximo, vamos derivar
em relação a
e igualar a derivada a zero:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 8
Substituindo
na expressão de
:
Passo 9
Portanto,
. Isso significa que o retângulo com a maior área inscrito na circunferência é um quadrado, já que os lados são iguais.
Resposta
Concluímos que o quadrado tem a maior área entre todos os retângulos inscritos na circunferência
.
Exercícios relacionados
Divida o polinômio
por
, diga qual é o quociente e o resto. Descreva o polinômio
, na forma
Efetue as operações pedidas com os polinômios abaixo:
a)
a)
Decida se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando ou apresentando um contra-exemplo.
(b) Se são funções tais que
é limitada e
, então tem-se que
(b) Se
Um certo cartaz deverá ter
para a mensagem impressa; deve ter
de margem no topo e na base e uma margem de 5 cm em cada lado. Determine as dimensões totais do cartaz para que a quantidade de papel usada seja mínima.