Decida se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando ou apresentando um contra-exemplo.
(b) Se são funções tais que é limitada e , então tem-se que

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A afirmação diz que, se temos duas funções e que vão dos números reais para os números reais ( ), onde:
  • A função é limitada (ou seja, seus valores não saem de um certo intervalo),
  • E o limite de quando tende ao infinito é ,
então o limite de quando tende ao infinito também é .
Vamos precisar entender conceitos de limites no infinito e o que significa uma função ser limitada para resolver essa questão.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser limitada. Dizemos que uma função é limitada se existe um número real tal que para todo no domínio, o valor de está dentro do intervalo . Ou seja:
Isso significa que os valores da função não “explodem” para mais ou menos infinito; eles ficam “presa” dentro desse intervalo.

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que significa . Isso quer dizer que, conforme cresce sem limite, os valores de também crescem sem limite positivo. Em termos simples, fica cada vez maior à medida que aumenta.

Passo 4

Agora, queremos analisar o limite de quando tende ao infinito. Sabemos que é limitada, então existe um tal que:
Isso implica que está sempre entre e . Já cresce indefinidamente para . Então, ao somarmos e , temos:
Como tende para , mesmo subtraindo um número finito , ainda tende para . Isso porque a parte domina o comportamento da soma quando cresce muito.

Passo 5

Formalizando isso, podemos dizer que para qualquer número real grande , existe um valor de suficientemente grande tal que:
Então,
Isso mostra que pode ser feito maior que qualquer , o que significa que:

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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(b)