Decida se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando ou apresentando um contra-exemplo.
(b) Se
são funções tais que
é limitada e
, então tem-se que
(b) Se
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A afirmação diz que, se temos duas funções
e
que vão dos números reais para os números reais (
), onde:
- A função
é limitada (ou seja, seus valores não saem de um certo intervalo), - E o limite de
quando tende ao infinito é ,
então o limite de
quando
tende ao infinito também é
.
Vamos precisar entender conceitos de limites no infinito e o que significa uma função ser limitada para resolver essa questão.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser limitada. Dizemos que uma função
é limitada se existe um número real
tal que para todo
no domínio, o valor de
está dentro do intervalo
. Ou seja:
Isso significa que os valores da função
não “explodem” para mais ou menos infinito; eles ficam “presa” dentro desse intervalo.
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que significa
. Isso quer dizer que, conforme
cresce sem limite, os valores de
também crescem sem limite positivo. Em termos simples,
fica cada vez maior à medida que
aumenta.
Passo 4
Agora, queremos analisar o limite de
quando
tende ao infinito. Sabemos que
é limitada, então existe um
tal que:
Isso implica que
está sempre entre
e
. Já
cresce indefinidamente para
. Então, ao somarmos
e
, temos:
Como
tende para
, mesmo subtraindo um número finito
,
ainda tende para
. Isso porque a parte
domina o comportamento da soma quando
cresce muito.
Passo 5
Formalizando isso, podemos dizer que para qualquer número real grande
, existe um valor de
suficientemente grande tal que:
Então,
Isso mostra que
pode ser feito maior que qualquer
, o que significa que:
Resposta
A afirmação é verdadeira.
Exercícios relacionados
Mostre que o quadrado tem a maior área dentre todos os retângulos inscritos numa dada circunferência
.
Divida o polinômio
por
, diga qual é o quociente e o resto. Descreva o polinômio
, na forma
Um certo cartaz deverá ter
para a mensagem impressa; deve ter
de margem no topo e na base e uma margem de 5 cm em cada lado. Determine as dimensões totais do cartaz para que a quantidade de papel usada seja mínima.
Verifique se
é contínua e derivável no ponto
, sendo:
(b)
(b)