Considere a função
(b) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de
de
.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver essa questão que pede para encontrar onde a função
está crescendo ou decrescendo no intervalo
. Aqui, estamos lidando com cálculo integral e derivadas para analisar o comportamento da função.
Passo 2
Primeiro, para saber onde a função está crescendo ou decrescendo, precisamos encontrar a derivada de
. Por uma regra do cálculo chamada Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de uma integral com limite variável é simplesmente a função dentro da integral avaliada nesse limite. Ou seja:
Passo 3
Agora que temos a derivada
, vamos analisar onde essa derivada é positiva ou negativa, já que:
- Se
, a função está crescendo. - Se
, a função está decrescendo.
Passo 4
Observando a expressão
:
-
é sempre positivo ou zero, porque qualquer número real elevado a uma potência par (como ) resulta em um número não negativo. - Somando 1 a isso, temos que
é sempre maior ou igual a 1, ou seja, .
Passo 5
Como
é sempre maior que zero para todo
, concluímos que a função
está sempre crescendo nesse intervalo. Não há pontos onde a derivada seja negativa, então não há intervalos de decrescimento.
Resposta
A função
está sempre crescendo no intervalo
e não apresenta intervalos de decrescimento.
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de 0 a
é dada por:
Considere a função real
, dada por
.
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no intervalo de 0 a
.
(b) Calcule a área compreendida entre a curva
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