Considere a função
g(x)=integral-k^x(t^2 k+1) d t, x >=-k
(b) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de g de [-k,+infty).

Passo 1

Beleza! Vamos resolver essa questão que pede para encontrar onde a função está crescendo ou decrescendo no intervalo . Aqui, estamos lidando com cálculo integral e derivadas para analisar o comportamento da função.

Passo 2

Primeiro, para saber onde a função está crescendo ou decrescendo, precisamos encontrar a derivada de g'(x) = ddx ( integral-k^x (t^2k +1) dt ) = x^2k + 1 . Por uma regra do cálculo chamada Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de uma integral com limite variável é simplesmente a função dentro da integral avaliada nesse limite. Ou seja:

Passo 3

Agora que temos a derivada , vamos analisar onde essa derivada é positiva ou negativa, já que:
  • Se , a função está crescendo.
  • Se , a função está decrescendo.

Passo 4

Observando a expressão :
  1. é sempre positivo ou zero, porque qualquer número real elevado a uma potência par (como ) resulta em um número não negativo.
  2. Somando 1 a isso, temos que é sempre maior ou igual a 1, ou seja, .

Passo 5

Como é sempre maior que zero para todo , concluímos que a função está sempre crescendo nesse intervalo. Não há pontos onde a derivada seja negativa, então não há intervalos de decrescimento.

Resposta

A função está sempre crescendo no intervalo e não apresenta intervalos de decrescimento.

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