Use o método de separação de variáveis para encontrar uma solução particular para as seguintes equações
partial upartial x+3 partial upartial y=0

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial parcial partial upartial x + 3 partial upartial y = 0 usando o método de separação de variáveis. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais parciais, onde buscamos soluções que possam ser expressas como o produto de funções de cada variável independente separadamente.

Passo 2

Primeiro, assumimos que a solução u(x, y) pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende apenas de x e outra que depende apenas de y. Ou seja, u(x, y) = X(x)Y(y).

Passo 3

Agora, calculamos as derivadas parciais de u em relação a x e y:
partial upartial x = X'(x)Y(y)
partial upartial y = X(x)Y'(y)

Passo 4

Substituímos essas derivadas na equação original:
X'(x)Y(y) + 3X(x)Y'(y) = 0

Passo 5

Dividimos ambos os lados da equação por X(x)Y(y) (supondo que X(x) neq 0 e Y(y) neq 0):
X'(x)X(x) + 3Y'(y)Y(y) = 0

Passo 6

Como cada termo depende apenas de uma variável, podemos igualar cada parte a uma constante k:
X'(x)X(x) = k e 3Y'(y)Y(y) = -k

Passo 7

Agora, resolvemos cada equação separadamente:
Para X(x):
X'(x)X(x) = k implies ln|X(x)| = kx + C1 implies X(x) = C1 e^kx
Para Y(y):
3Y'(y)Y(y) = -k implies Y'(y)Y(y) = -k3 implies ln|Y(y)| = -k3y + C2 implies Y(y) = C2 e^-k3y

Passo 8

Multiplicando X(x) e Y(y), obtemos a solução geral:
u(x, y) = C e^kx e^-k3y = C e^k(x - 13y)
onde C é uma constante arbitrária.

Resposta

Uma solução particular para a equação é u(x, y) = e^k(x - 13y), onde k é uma constante real.

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