Use o método de separação de variáveis para encontrar uma solução particular para as seguintes equações
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial parcial
usando o método de separação de variáveis. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais parciais, onde buscamos soluções que possam ser expressas como o produto de funções de cada variável independente separadamente.
Passo 2
Primeiro, assumimos que a solução
pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende apenas de
e outra que depende apenas de
. Ou seja,
.
Passo 3
Agora, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Passo 4
Substituímos essas derivadas na equação original:
Passo 5
Dividimos ambos os lados da equação por
(supondo que
e
):
Passo 6
Como cada termo depende apenas de uma variável, podemos igualar cada parte a uma constante
:
Passo 7
Agora, resolvemos cada equação separadamente:
Para :
Para
Para
:
Passo 8
Multiplicando
e
, obtemos a solução geral:
onde
é uma constante arbitrária.
Resposta
Uma solução particular para a equação é
, onde
é uma constante real.
Exercícios relacionados
Considere a função
(b) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de
de
.
É certo dizer que a área compreendida entre o gráfico da função seno e o eixo
de 0 a
é dada por:
Classifique as equações diferenciais parciais abaixo em hiperbólica, parabólica ou elíptica
Nos itens abaixo encontre a curva característica e uma forma canônica para cada equação