Em um sistema que contém quatro partículas distinguíveis e cinco unidades de energia, qual é a probabilidade que uma partícula tenha toda a energia?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um sistema com quatro partículas diferenciadas e cinco unidades de energia. A pergunta é: qual a probabilidade de que uma dessas partículas tenha toda a energia disponível? Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinatória, que nos ajudam a contar de quantas maneiras diferentes podemos distribuir as energias entre as partículas.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender quantas maneiras diferentes podemos distribuir as cinco unidades de energia entre as quatro partículas. Como as partículas são distinguíveis (ou seja, podemos diferenciá-las umas das outras) e as unidades de energia são indistinguíveis, estamos lidando com um problema típico de distribuição de objetos indistintos em recipientes distintos.
A fórmula que usamos para isso é a combinação com repetição, que é dada por:
onde $ n $ é o número de tipos de objetos (neste caso, partículas) e $ k $ é o número de objetos a serem distribuídos (unidades de energia).
Passo 3
Aplicando a fórmula, temos $ n = 4 $ partículas e $ k = 5 $ unidades de energia. Então, o número total de maneiras de distribuir as energias é:
Então, existem 56 maneiras diferentes de distribuir as cinco unidades de energia entre as quatro partículas.
Passo 4
Agora, queremos encontrar quantas dessas distribuições resultam em uma única partícula recebendo todas as cinco unidades de energia. Como as partículas são diferenciáveis, qualquer uma das quatro partículas pode ser a que recebe toda a energia. Portanto, há exatamente 4 maneiras favoráveis (uma para cada partícula).
Passo 5
Para encontrar a probabilidade desejada, dividimos o número de casos favoráveis pelo número total de casos possíveis:
Resposta
A probabilidade de que uma partícula tenha toda a energia é
.