Considere um sistema de partículas, as quais podem ter três valores de energia, -E, 0, E. Imagine que você tenha N partículas idênticas sem restrição quanto ao número delas que possam ter um valor particular de energia. Defina OmegaG(E, N) como o número de diferentes maneiras que você possa garantir que N dessas partículas tenha uma energia total menor ou igual a E.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um sistema com partículas que podem ter três níveis de energia: -E, 0 e E. Temos N partículas idênticas e queremos descobrir de quantas maneiras diferentes podemos distribuir essas energias de forma que a energia total das partículas seja menor ou igual a E. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de combinatória e contagem de estados possíveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que cada partícula pode estar em um dos três estados de energia: -E, 0 ou E. Como as partículas são idênticas e não há restrição no número de partículas em cada estado, podemos pensar nas combinações possíveis dessas energias que resultam em uma energia total <= E.

Passo 3

Vamos chamar:
  • n- de partículas com energia -E,
  • n0 de partículas com energia 0,
  • n+ de partículas com energia E.
Sabemos que n- + n0 + n+ = N e a energia total é -E n- + 0 cdot n0 + E n+ = E (n+ - n-). Queremos que E (n+ - n-) <= E, ou seja, n+ - n- <= 1.

Passo 4

Isso significa que n+ <= n- + 1. Vamos analisar os possíveis valores de n+ e n- que satisfazem essa condição.
  • Caso 1: n+ = n-
  • Caso 2: n+ = n- + 1
Vamos contar as combinações para cada caso.

Passo 5

Caso 1: n+ = n- = k
Então, temos 2k + n0 = N implies n0 = N - 2k.
Para cada k, onde k varia de 0 até lfloor N/2 rfloor, há uma maneira de distribuir as partículas.
Caso 2: n+ = k + 1 e n- = k
Então, k + 1 + k + n0 = N implies n0 = N - 2k - 1.
Aqui, k varia de 0 até lfloor (N-1)/2 rfloor.

Passo 6

Agora, para cada valor de k, temos uma única configuração de n+, n- e n0. Então, o número total de maneiras é a soma das possibilidades dos dois casos:
OmegaG(E, N) = ( lfloor N2 rfloor + 1 ) + lfloor N-12 rfloor + 1
Simplificando, isso resulta em N + 1 maneiras diferentes.

Resposta

Portanto, o número de diferentes maneiras de distribuir as energias das N partículas de forma que a energia total seja menor ou igual a E é:
OmegaG(E, N) = N + 1

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