Considere um sistema de partículas, as quais podem ter três valores de energia,
. Imagine que você tenha
partículas idênticas sem restrição quanto ao número delas que possam ter um valor particular de energia. Defina
como o número de diferentes maneiras que você possa garantir que
dessas partículas tenha uma energia total menor ou igual a
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um sistema com partículas que podem ter três níveis de energia:
,
e
. Temos
partículas idênticas e queremos descobrir de quantas maneiras diferentes podemos distribuir essas energias de forma que a energia total das partículas seja menor ou igual a
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de combinatória e contagem de estados possíveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que cada partícula pode estar em um dos três estados de energia:
,
ou
. Como as partículas são idênticas e não há restrição no número de partículas em cada estado, podemos pensar nas combinações possíveis dessas energias que resultam em uma energia total
.
Passo 3
Vamos chamar:
-
de partículas com energia , -
de partículas com energia , -
de partículas com energia .
Sabemos que
e a energia total é
. Queremos que
, ou seja,
.
Passo 4
Isso significa que
. Vamos analisar os possíveis valores de
e
que satisfazem essa condição.
- Caso 1:
- Caso 2:
Vamos contar as combinações para cada caso.
Passo 5
Caso 1:
Então, temos
.
Para cada
, onde
varia de
até
, há uma maneira de distribuir as partículas.
Caso 2:
e
Então,
.
Aqui,
varia de
até
.
Passo 6
Agora, para cada valor de
, temos uma única configuração de
,
e
. Então, o número total de maneiras é a soma das possibilidades dos dois casos:
Simplificando, isso resulta em
maneiras diferentes.
Resposta
Portanto, o número de diferentes maneiras de distribuir as energias das
partículas de forma que a energia total seja menor ou igual a
é: