Um tanque é composto por um cilindro sobreposto em um cone. Qual a massa total da carga se o tanque está cheio de carväo
? Use Pappus-Guldinus para calcular o volume interno total. olca: Lembrese que
.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um tanque que é feito de um cilindro em cima de um cone. Queremos descobrir a massa total de carvão que está nesse tanque quando ele está cheio. Para isso, vamos usar o Teorema de Pappus-Guldinus para calcular o volume total do tanque e depois usar a relação entre densidade, massa e volume. Precisamos saber um pouco sobre geometria dos sólidos de rotação e como aplicar o Teorema de Pappus-Guldinus.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Teorema de Pappus-Guldinus. Esse teorema nos ajuda a encontrar o volume de um sólido de revolução, ou seja, um sólido criado girando uma figura plana em torno de um eixo. A fórmula é:
Onde
é o volume,
é a área da figura gerada e
é a distância percorrida pelo centro de massa da figura durante a rotação.
Passo 3
Começamos pelo cilindro. Suponhamos que o cilindro tenha altura
e raio
. A área da base do cilindro é:
O centro de massa do cilindro fica no meio da altura, ou seja, a uma distância
do eixo de rotação. Usando o Teorema de Pappus-Guldinus:
Passo 4
Agora, vamos para o cone. Suponha que o cone tenha altura
e também raio
na base. A área da base do cone é a mesma do cilindro:
O centro de massa do cone está a um terço da altura a partir da base, ou seja, a uma distância
. Aplicando o Teorema de Pappus-Guldinus:
Passo 5
Agora, somamos os volumes do cilindro e do cone para obter o volume total do tanque:
Passo 6
Sabendo que a densidade
é massa sobre volume, ou seja,
, podemos rearranjar para encontrar a massa:
Dado que a densidade do carvão
, substituímos na fórmula:
Resposta
A massa total do carvão no tanque é: