Em um certo instante, um trem deixa uma estação e vai para a direção norte à razão de 80 km/h. Um segundo trem deixa a mesma estação 2 horas depois e vai na direção leste à razão de 90 km/h. Qual é, aproximadamente, a taxa na qual os dois trens estão se separando exatamente 2 horas e 30 minutos depois do segundo trem deixar a estação?
A) 119 km/h.
B) 115,5 km/h.
C) 131 km/h.
D) 125,2 km/h.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema envolvendo movimento de trens e queremos descobrir quão rápido eles estão se afastando um do outro depois de um tempo específico. A gente vai usar conceitos de Movimento Retilíneo Uniforme e Cálculo de Taxas Relacionadas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que sabemos:
  • Trem 1: Vai para o norte a 80 km/h e sai da estação.
  • Trem 2: Sai da mesma estação 2 horas depois e vai para o leste a 90 km/h.
  • Queremos saber a taxa de separação dos trens 2 horas e 30 minutos (ou 2,5 horas) depois que o segundo trem saiu.

Passo 3

Vamos calcular quanto cada trem percorreu até o instante que queremos analisar:
  • Tempo do Trem 1: Como o segundo trem saiu 2 horas depois, o Trem 1 já está há 4,5 horas (2 + 2,5) viajando.
  • Distância Percorrida pelo Trem 1: $ 80 , km/h \times 4,5 , h = 360 , km $ para o norte.
  • Tempo do Trem 2: Está viajando há 2,5 horas.
  • Distância Percorrida pelo Trem 2: $ 90 , km/h \times 2,5 , h = 225 , km $ para o leste.

Passo 4

Agora, imagine os trens formando um triângulo retângulo, onde as distâncias percorridas são os catetos. A distância entre os trens será a hipotenusa desse triângulo. Usamos o Teorema de Pitágoras para encontrar essa distância $ D $:
D

Passo 5

Mas queremos saber a taxa de aumento dessa distância em relação ao tempo, ou seja, $ \frac{dD}{dt} $. Para isso, usamos a derivada da distância em relação ao tempo:
dDdt
Onde:
  • $ x = 225 , km $ (distância leste),
  • $ y = 360 , km $ (distância norte),
  • $ \frac{dx}{dt} = 90 , km/h $,
  • $ \frac{dy}{dt} = 80 , km/h $.

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula:
dDdt = 225 times 90 + 360 times 80425 = 20250 + 28800425 = 49050425 approx 115,5 , km/h

Resposta

A taxa na qual os dois trens estão se separando é aproximadamente 115,5 km/h.
Alternativa B) 115,5 km/h.

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