A integração dupla é uma das ferramentas fundamentais para a análise de funções de duas variáveis e, portanto, para o estudo da geometria analítica. Determine a área dada pela integral ∫ 4 1 ∫ 2 − 1 ( 2 x + 6 x 2 y ) d y d x, em unidade de valores, (u. V.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma área usando uma integral dupla. O enunciado nos dá a integral
. A matéria aqui é cálculo integral, mais especificamente integração dupla, que a gente usa pra analisar funções de duas variáveis e estudar a geometria analítica. Para resolver isso, vamos integrar em duas etapas: primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a integração interna, que é em relação a
. A função que vamos integrar é
. Como
é tratado como uma constante nessa etapa, a integral fica assim:
Passo 3
Vamos integrar termo a termo:
- A integral de
em relação a é . - A integral de
em relação a é .
Então, a antiderivada é:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de
e
:
Para
:
Para
:
Passo 5
Subtraindo os valores:
Então, a integral interna resulta em
.
Passo 6
Agora, vamos integrar o resultado
em relação a
de 1 a 4:
Passo 7
Mais uma vez, integramos termo a termo:
- A integral de
é . - A integral de
é .
Então, a antiderivada é:
Passo 8
Agora, avaliamos essa antiderivada nos limites de
e
:
Para
:
Para
:
Passo 9
Subtraindo os valores:
Resposta
A área determinada pela integral é 234 unidades de valor (u. V.).