A integração dupla é uma das ferramentas fundamentais para a análise de funções de duas variáveis e, portanto, para o estudo da geometria analítica. Determine a área dada pela integral ∫ 4 1 ∫ 2 − 1 ( 2 x + 6 x 2 y ) d y d x, em unidade de valores, (u. V.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma área usando uma integral dupla. O enunciado nos dá a integral integral1^4 integral-1^2 (2x + 6x^2 y) , dy , dx. A matéria aqui é cálculo integral, mais especificamente integração dupla, que a gente usa pra analisar funções de duas variáveis e estudar a geometria analítica. Para resolver isso, vamos integrar em duas etapas: primeiro em relação a y e depois em relação a x.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a integração interna, que é em relação a y. A função que vamos integrar é 2x + 6x^2 y. Como x é tratado como uma constante nessa etapa, a integral fica assim:
integral-1^2 (2x + 6x^2 y) , dy

Passo 3

Vamos integrar termo a termo:
  1. A integral de 2x em relação a y é 2x cdot y.
  2. A integral de 6x^2 y em relação a y é 6x^2 cdot y^22 = 3x^2 y^2.
Então, a antiderivada é:
2x y + 3x^2 y^2

Passo 4

Agora, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de y = -1 e y = 2:
Para y = 2:
2x cdot 2 + 3x^2 cdot (2)^2 = 4x + 12x^2
Para y = -1:
2x cdot (-1) + 3x^2 cdot (-1)^2 = -2x + 3x^2

Passo 5

Subtraindo os valores:
(4x + 12x^2) - (-2x + 3x^2) = 4x + 12x^2 + 2x - 3x^2 = 6x + 9x^2
Então, a integral interna resulta em 6x + 9x^2.

Passo 6

Agora, vamos integrar o resultado 6x + 9x^2 em relação a x de 1 a 4:
integral1^4 (6x + 9x^2) , dx

Passo 7

Mais uma vez, integramos termo a termo:
  1. A integral de 6x é 6 cdot x^22 = 3x^2.
  2. A integral de 9x^2 é 9 cdot x^33 = 3x^3.
Então, a antiderivada é:
3x^2 + 3x^3

Passo 8

Agora, avaliamos essa antiderivada nos limites de x = 1 e x = 4:
Para x = 4:
3(4)^2 + 3(4)^3 = 3 cdot 16 + 3 cdot 64 = 48 + 192 = 240
Para x = 1:
3(1)^2 + 3(1)^3 = 3 + 3 = 6

Passo 9

Subtraindo os valores:
240 - 6 = 234

Resposta

A área determinada pela integral é 234 unidades de valor (u. V.).

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