Os pontos a (4,4), b (10,14) e c (18,6) são vértices de um triângulo. Qual é a equação da reta suporte da mediana relativa ao vértice a?

Passo 1

Beleza, então a gente tem um triângulo com os vértices nos pontos A(4, 4), B(10, 14) e C(18, 6). A pergunta quer saber qual é a equação da reta que é a mediana relativa ao vértice A. Mediana em triângulo é uma linha que vai de um vértice até o ponto médio do lado oposto. Vamos usar geometria analítica pra resolver isso, basicamente calculando o ponto médio e depois a equação da reta passando por esses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto médio do lado BC. A fórmula do ponto médio entre dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) é:
M( x1 + x22, y1 + y22 )
Aplicando os valores de B(10, 14) e C(18, 6):
M( 10 + 182, 14 + 62 ) = M(14, 10)
Então, o ponto médio M é (14, 10).

Passo 3

Agora, precisamos achar a inclinação (coeficiente angular) da reta que passa pelos pontos A(4, 4) e M(14, 10). A fórmula do coeficiente angular m entre dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) é:
m = y2 - y1x2 - x1
Aplicando os valores de A e M:
m = 10 - 414 - 4 = 610 = 35
Então, o coeficiente angular m é 35.

Passo 4

Com o coeficiente angular e um ponto da reta (pode ser A ou M), vamos usar a equação ponto-inclinação para encontrar a equação da reta. A fórmula é:
y - y1 = m(x - x1)
Vamos usar o ponto A(4, 4):
y - 4 = 35(x - 4)

Passo 5

Agora, vamos deixar a equação em forma reduzida (y = mx + b):
y - 4 = 35x - 125
Somando 4 dos dois lados:
y = 35x - 125 + 4
Convertendo 4 para fração com denominador 5:
4 = 205
Então:
y = 35x - 125 + 205 = 35x + 85

Resposta

A equação da reta suporte da mediana relativa ao vértice A é:
y = 35x + 85

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