Um certo material superisolante de k=2.10^-4 W /(m^circ C) é utilizado para) isolar um tanque de nitrogênio líquido mantido a -196 ^circ C; são necessários 90 kJ para vaporizar cada libra-massa de nitrogênio nesta temperatura. Considerando-se que o tanque seja esférico com diâmetro interno de 0,6 m, estime a quantidade de nitrogênio vaporizado por dia para uma espessura de isolamento de 25,4 mm com a temperatura ambiente mantida a 21 ^circ C. Considere que a temperatura externa do isolamento seja a mesma do ambiente.

Passo 1

Então, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um tanque esférico que armazena nitrogênio líquido a uma temperatura bem baixa de -196 °C. Esse tanque está isolado com um material superisolante que tem uma condutividade térmica de . A gente precisa descobrir quanto nitrogênio vai vaporizar por dia devido ao calor que entra pelo isolamento, considerando que a temperatura ambiente é de 21 °C e a espessura do isolamento é de 25,4 mm. Para resolver isso, vamos usar conceitos de condução de calor e propriedades térmicas dos materiais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área da superfície interna do tanque esférico. Sabemos que o diâmetro interno é de 0,6 metros, então o raio interno rin = 0,6 , m2 = 0,3 , m é metade disso:
A = 4pi r^2
A área da superfície de uma esfera é dada por:
A = 4 pi (0,3)^2 approx 1,13 , m^2
Substituindo o valor de :

Passo 3

Agora, vamos determinar o raio externo rout = rin + espessura = 0,3 , m + 0,0254 , m = 0,3254 , m do isolamento. Sabemos que a espessura do isolamento é de 25,4 mm, que é 0,0254 metros. Então:

Passo 4

Vamos usar a Lei da Condução de Calor para esferas. A taxa de transferência de calor dotQ = 4 pi k (Tin - Tout)ln(routrin) através de uma casca esférica é dada por:
k = 2.10^-4 , W/(m^circC)
Onde:
  • Tin = -196,^circC é a condutividade térmica do isolamento,
  • Tout = 21,^circC é a temperatura interna,
  • ln(routrin) = ln(0,32540,3) approx ln(1,0847) approx 0,081 é a temperatura externa,
  • dotQ = 4 pi times 2 times 10^-4 times (-196 - 21)0,081 e De são os raios interno e externo.
Vamos substituir os valores:
dotQ = 4 pi times 2 times 10^-4 times 2170,081 approx 4 times 3,1416 times 2 times 10^-4 times 2170,081
dotQ approx 4 times 3,1416 times 2 times 217 times 10^-40,081 approx 547,056 times 10^-40,081 approx 0,674 , W
Substituindo na fórmula:
Note que a diferença de temperatura será negativa, mas como estamos interessados na quantidade de calor que entra, vamos considerar o valor absoluto:
Então:

Passo 5

Agora que temos a taxa de transferência de calor Q = dotQ times t em watts, vamos calcular a quantidade total de energia que entra no tanque durante um dia (24 horas). Sabemos que 1 watt é igual a 1 joule por segundo. Portanto:
t = 24 , horas times 3600 , segundos/hora = 86,400 , segundos
Q = 0,674 , W times 86,400 , s approx 58,2336 , J

Passo 6

A questão diz que são necessários 90 kJ para vaporizar cada libra-massa de nitrogênio. Primeiro, vamos converter a energia total Q = 58,2336 , J = 0,0582336 , kJ de joules para quilojoules:
m = QEnergia por libra = 0,0582336 , kJ90 , kJ/lb approx 0,000647 , lb
Agora, para encontrar a quantidade de nitrogênio vaporizado m approx 0,000647 , lb times 453,592 , g/lb approx 0,293 , g , usamos:
Convertendo para gramas (sendo que 1 lb ≈ 453,592 g):

Resposta

Portanto, aproximadamente 0,293 gramas de nitrogênio serão vaporizados por dia devido ao calor que entra pelo isolamento.

Exercícios relacionados