Glicerina a
preenche o espaço entre uma luva oca de diâmetro 12 cm e uma haste maciça coaxial fixa de diâmetro
. A luva externa é posta para girar a 120 rpm . Supondo-se que não haja mudança de temperatura, estime o torque necessário, em
por metro de comprimento da haste, para manter a haste interna fixa.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma luva oca com diâmetro de 12 cm e uma haste interna fixa com diâmetro de 11,8 cm, ambas coaxiais. A luva externa está girando a 120 rotações por minuto (rpm) e queremos descobrir o torque necessário para manter a haste interna fixa, considerando que a glicerina entre elas não muda de temperatura. Para resolver isso, vamos usar conceitos de viscosidade e fluxo entre cilindros concêntricos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a configuração. Temos dois cilindros concêntricos:
- Cilindro externo (luva): diâmetro
- Cilindro interno (haste): diâmetro
A luva está girando a
. Queremos encontrar o torque por metro de comprimento da haste para manter a haste fixa.
Passo 3
Vamos converter as rotações por minuto para radianos por segundo, pois é mais conveniente para os cálculos:
Passo 4
Agora, vamos calcular as velocidades angulares dos cilindros. Como a haste está fixa, sua velocidade angular
. A luva externa tem velocidade angular
.
Passo 5
A viscosidade da glicerina (
) a
é necessária para os cálculos. Supondo que a viscosidade da glicerina seja
.
Passo 6
Usaremos a fórmula do torque entre dois cilindros concêntricos para fluxo viscoso:
Onde:
-
é o torque -
é o comprimento da haste (por metro, então ) -
e são os diâmetros dos cilindros externo e interno, respectivamente -
é a velocidade angular da luva externa
Passo 7
Vamos substituir os valores na fórmula:
Passo 8
Calculando os termos:
Então,
Passo 9
Continuando os cálculos:
Resposta
O torque necessário para manter a haste interna fixa é aproximadamente
por metro de comprimento da haste.