Glicerina a 20^circ C preenche o espaço entre uma luva oca de diâmetro 12 cm e uma haste maciça coaxial fixa de diâmetro 11,8 cm. A luva externa é posta para girar a 120 rpm . Supondo-se que não haja mudança de temperatura, estime o torque necessário, em N cdot m por metro de comprimento da haste, para manter a haste interna fixa.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma luva oca com diâmetro de 12 cm e uma haste interna fixa com diâmetro de 11,8 cm, ambas coaxiais. A luva externa está girando a 120 rotações por minuto (rpm) e queremos descobrir o torque necessário para manter a haste interna fixa, considerando que a glicerina entre elas não muda de temperatura. Para resolver isso, vamos usar conceitos de viscosidade e fluxo entre cilindros concêntricos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a configuração. Temos dois cilindros concêntricos:
  • Cilindro externo (luva): diâmetro
  • Cilindro interno (haste): diâmetro
A luva está girando a . Queremos encontrar o torque por metro de comprimento da haste para manter a haste fixa.

Passo 3

Vamos converter as rotações por minuto para radianos por segundo, pois é mais conveniente para os cálculos:
omega = 120 , rpm times 2pi , rad60 , s = 12.566 , rad/s

Passo 4

Agora, vamos calcular as velocidades angulares dos cilindros. Como a haste está fixa, sua velocidade angular . A luva externa tem velocidade angular .

Passo 5

A viscosidade da glicerina ( ) a é necessária para os cálculos. Supondo que a viscosidade da glicerina seja .

Passo 6

Usaremos a fórmula do torque entre dois cilindros concêntricos para fluxo viscoso:
T = pi eta L (Do^2 - Di^2) omegao2 Do Di
Onde:
  • é o torque
  • é o comprimento da haste (por metro, então )
  • e são os diâmetros dos cilindros externo e interno, respectivamente
  • é a velocidade angular da luva externa

Passo 7

Vamos substituir os valores na fórmula:
T = pi times 1.49 times 10^-3 , Pa cdot s times 1 , m times ( (0.12 , m)^2 - (0.118 , m)^2 ) times 12.566 , rad/s2 times 0.12 , m times 0.118 , m

Passo 8

Calculando os termos:
Do^2 - Di^2 = (0.12)^2 - (0.118)^2 = 0.0144 - 0.013924 = 0.000476 , m^2
Então,
T = 3.1416 times 1.49 times 10^-3 times 0.000476 times 12.5662 times 0.12 times 0.118

Passo 9

Continuando os cálculos:
T = 3.1416 times 1.49 times 10^-3 times 0.000476 times 12.5660.02832
T = 3.1416 times 1.49 times 10^-3 times 0.0059800.02832
T = 0.0000280.02832 approx 0.00099 , N cdot m/m

Resposta

O torque necessário para manter a haste interna fixa é aproximadamente por metro de comprimento da haste.

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