Glicerina a preenche o espaço entre uma luva oca de diâmetro 12 cm e uma haste maciça coaxial fixa de diâmetro . A luva externa é posta para girar a 120 rpm . Supondo-se que não haja mudança de temperatura, estime o torque necessário, em por metro de comprimento da haste, para manter a haste interna fixa.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma luva oca com diâmetro de 12 cm e uma haste interna fixa com diâmetro de 11,8 cm, ambas coaxiais. A luva externa está girando a 120 rotações por minuto (rpm) e queremos descobrir o torque necessário para manter a haste interna fixa, considerando que a glicerina entre elas não muda de temperatura. Para resolver isso, vamos usar conceitos de viscosidade e fluxo entre cilindros concêntricos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a configuração. Temos dois cilindros concêntricos:
  • Cilindro externo (luva): diâmetro
  • Cilindro interno (haste): diâmetro
A luva está girando a . Queremos encontrar o torque por metro de comprimento da haste para manter a haste fixa.

Passo 3

Vamos converter as rotações por minuto para radianos por segundo, pois é mais conveniente para os cálculos:

Passo 4

Agora, vamos calcular as velocidades angulares dos cilindros. Como a haste está fixa, sua velocidade angular . A luva externa tem velocidade angular .

Passo 5

A viscosidade da glicerina ( ) a é necessária para os cálculos. Supondo que a viscosidade da glicerina seja .

Passo 6

Usaremos a fórmula do torque entre dois cilindros concêntricos para fluxo viscoso:
Onde:
  • é o torque
  • é o comprimento da haste (por metro, então )
  • e são os diâmetros dos cilindros externo e interno, respectivamente
  • é a velocidade angular da luva externa

Passo 7

Vamos substituir os valores na fórmula:

Passo 8

Calculando os termos:
Então,

Passo 9

Continuando os cálculos:

Resposta

O torque necessário para manter a haste interna fixa é aproximadamente por metro de comprimento da haste.

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