(CESGRANRIO) Se x e y são reais e i^2=-1; determine o conjunto-solução de x+i y=|x+i y|.

Passo 1

Ok, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação envolvendo números complexos: . Precisamos encontrar todos os pares de números reais que satisfazem essa igualdade.
Neste exercício, vamos usar conceitos da Álgebra de Números Complexos, especificamente sobre o módulo de um número complexo. O módulo de um número complexo é dado por . Vamos precisar disso para resolver a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir x + i y = raizx^2 + y^2 pela sua expressão em termos de e :

Passo 3

Agora, observamos que o lado esquerdo da equação é um número complexo, enquanto o lado direito é um número real positivo (o módulo é sempre não negativo). Para que um número complexo seja igual a um número real, a parte imaginária deve ser zero. Portanto, devemos ter:
y = 0

Passo 4

Com x = raizx^2 , a equação simplifica para:
x = |x|
Sabemos que , então:

Passo 5

A equação x >= 0 é verdadeira quando é maior ou igual a zero, já que o módulo de é igual a quando . Portanto, temos:

Resposta

O conjunto-solução é todos os números reais , (x, y) in R^2 mid x >= 0 e y = 0 , maiores ou iguais a zero e . Em forma de conjunto:

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