(CESGRANRIO) Se e são reais e ; determine o conjunto-solução de .
Passo 1
Ok, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação envolvendo números complexos: . Precisamos encontrar todos os pares de números reais que satisfazem essa igualdade.
Neste exercício, vamos usar conceitos da Álgebra de Números Complexos, especificamente sobre o módulo de um número complexo. O módulo de um número complexo é dado por . Vamos precisar disso para resolver a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir pela sua expressão em termos de e :
Passo 3
Agora, observamos que o lado esquerdo da equação é um número complexo, enquanto o lado direito é um número real positivo (o módulo é sempre não negativo). Para que um número complexo seja igual a um número real, a parte imaginária deve ser zero. Portanto, devemos ter:
Passo 4
Com , a equação simplifica para:
Sabemos que , então:
Passo 5
A equação é verdadeira quando é maior ou igual a zero, já que o módulo de é igual a quando . Portanto, temos:
Resposta
O conjunto-solução é todos os números reais maiores ou iguais a zero e . Em forma de conjunto: