(CESGRANRIO) Se
e
são reais e
; determine o conjunto-solução de
.
Passo 1
Ok, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação envolvendo números complexos:
. Precisamos encontrar todos os pares de números reais
que satisfazem essa igualdade.
Neste exercício, vamos usar conceitos da Álgebra de Números Complexos, especificamente sobre o módulo de um número complexo. O módulo de um número complexo
é dado por
. Vamos precisar disso para resolver a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
pela sua expressão em termos de
e
:
Passo 3
Agora, observamos que o lado esquerdo da equação é um número complexo, enquanto o lado direito é um número real positivo (o módulo é sempre não negativo). Para que um número complexo seja igual a um número real, a parte imaginária deve ser zero. Portanto, devemos ter:
Passo 4
Com
, a equação simplifica para:
Sabemos que
, então:
Passo 5
A equação
é verdadeira quando
é maior ou igual a zero, já que o módulo de
é igual a
quando
. Portanto, temos:
Resposta
O conjunto-solução é todos os números reais
maiores ou iguais a zero e
. Em forma de conjunto: