Escreva a equação reduzida da hipérbole, dados , as assíntotas (focos no eixo Oy);
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre hipérbole! O enunciado nos dá que , as assíntotas são , e os focos estão no eixo (eixo y). Para resolver isso, vamos usar as fórmulas da hipérbole e entender como as assíntotas e os focos influenciam a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação reduzida da hipérbole que tem os focos no eixo (vertical) tem a forma:
Aqui, é a distância do centro aos vértices ao longo do eixo y, e está relacionado com as assíntotas.
Passo 3
Sabemos que as assíntotas para essa forma de hipérbole são dadas por:
No nosso caso, as assíntotas são . Vamos rearranjar isso para combinar com a fórmula das assíntotas:
Comparando com , vemos que:
Passo 4
Já sabemos que . Vamos usar isso para encontrar :
Então, .
Passo 5
Agora que temos e , podemos substituir esses valores na equação reduzida da hipérbole: