Escreva a equação reduzida da hipérbole, dados b=4, as assíntotas 2 y= pm 3 x (focos no eixo Oy);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre hipérbole! O enunciado nos dá que , as assíntotas são , e os focos estão no eixo (eixo y). Para resolver isso, vamos usar as fórmulas da hipérbole e entender como as assíntotas e os focos influenciam a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação reduzida da hipérbole que tem os focos no eixo y^2a^2 - x^2b^2 = 1 (vertical) tem a forma:
Aqui, é a distância do centro aos vértices ao longo do eixo y, e está relacionado com as assíntotas.

Passo 3

Sabemos que as assíntotas para essa forma de hipérbole são dadas por:
y = pm ab x
No nosso caso, as assíntotas são y = pm 32 x . Vamos rearranjar isso para combinar com a fórmula das assíntotas:
ab = 32
Comparando com , vemos que:

Passo 4

Já sabemos que a4 = 32 implies a = 4 times 32 = 6 . Vamos usar isso para encontrar :
Então, .

Passo 5

Agora que temos y^26^2 - x^24^2 = 1 e y^236 - x^216 = 1 , podemos substituir esses valores na equação reduzida da hipérbole:
Simplificando os quadrados:

Resposta

A equação reduzida da hipérbole é:
y^236 - x^216 = 1

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