Escreva a equação reduzida da hipérbole, dados
, as assíntotas
(focos no eixo Oy);
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre hipérbole! O enunciado nos dá que
, as assíntotas são
, e os focos estão no eixo
(eixo y). Para resolver isso, vamos usar as fórmulas da hipérbole e entender como as assíntotas e os focos influenciam a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação reduzida da hipérbole que tem os focos no eixo
(vertical) tem a forma:
Aqui,
é a distância do centro aos vértices ao longo do eixo y, e
está relacionado com as assíntotas.
Passo 3
Sabemos que as assíntotas para essa forma de hipérbole são dadas por:
No nosso caso, as assíntotas são
. Vamos rearranjar isso para combinar com a fórmula das assíntotas:
Comparando com
, vemos que:
Passo 4
Já sabemos que
. Vamos usar isso para encontrar
:
Então,
.
Passo 5
Agora que temos
e
, podemos substituir esses valores na equação reduzida da hipérbole:
Simplificando os quadrados:
Resposta
A equação reduzida da hipérbole é: