Chama-se cicloide uma curva plana descrita por um ponto
de uma circunferência de raio
, centrado em
, que rola, sem deslizamento, sobre o eixo Ox. Sabendo dessas informações, determine a equação vetorial da curva descrita pelo movimento de uma cabeça de prego em um pneu de um carro que se move em linha reta, se o raio do pneu é de 25 cm.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema sobre cicloides, que são curvas formadas quando uma circunferência rola sem deslizar sobre uma linha reta. No caso, queremos achar a equação vetorial do caminho que a cabeça de um prego faz num pneu de carro que está se movendo em linha reta. O raio desse pneu é de 25 cm. Para resolver, vamos usar conceitos de movimento circular e parametrização de curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma cicloide. Imagine uma roda rolando sobre o chão sem escorregar. Se marcarmos um ponto na borda da roda (como a cabeça de um prego), esse ponto vai descrever uma curva à medida que a roda gira. Essa curva é a cicloide.
Passo 3
Para descrever matematicamente essa curva, usamos equações paramétricas. Isso significa que vamos expressar as coordenadas
e
do ponto na cicloide em função de um parâmetro, geralmente o ângulo
que a roda gira.
Passo 4
Vamos definir as variáveis:
-
é o raio da roda, que é 25 cm. -
é o ângulo que a roda gira em radianos.
Passo 5
A posição horizontal
do ponto na cicloide pode ser descrita por:
Isso porque conforme a roda gira, o ponto avança horizontalmente com a roda, mas também oscila para frente e para trás devido à rotação.
Passo 6
A posição vertical
do ponto na cicloide é dada por:
Aqui, a altura do ponto varia entre 0 e
à medida que a roda gira, formando o movimento ascendente e descendente da cicloide.
Resposta
A equação vetorial da curva descrita pela cabeça do prego é:
Onde
é o ângulo em radianos que a roda gira.
Exercícios relacionados
Determine o domínio das seguintes funções:
(a)
(a)
Seja
, com
e
reais. Seja
. Encontre as partes real e imaginária de
em termos de
e
e, usando as equações de Cauchy-Riemann, demonstre que
é inteira (analítica em todo o plano complexo).
Determine o domínio das seguintes funções:
(d)
(d)
Seja
. Usando a convenção do que
, escreva
em forma exponencial,
, e assim calcule
, escrevendo o resultado final em forma cartesiana. (1,0)