Chama-se cicloide uma curva plana descrita por um ponto de uma circunferência de raio , centrado em , que rola, sem deslizamento, sobre o eixo Ox. Sabendo dessas informações, determine a equação vetorial da curva descrita pelo movimento de uma cabeça de prego em um pneu de um carro que se move em linha reta, se o raio do pneu é de 25 cm.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema sobre cicloides, que são curvas formadas quando uma circunferência rola sem deslizar sobre uma linha reta. No caso, queremos achar a equação vetorial do caminho que a cabeça de um prego faz num pneu de carro que está se movendo em linha reta. O raio desse pneu é de 25 cm. Para resolver, vamos usar conceitos de movimento circular e parametrização de curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma cicloide. Imagine uma roda rolando sobre o chão sem escorregar. Se marcarmos um ponto na borda da roda (como a cabeça de um prego), esse ponto vai descrever uma curva à medida que a roda gira. Essa curva é a cicloide.

Passo 3

Para descrever matematicamente essa curva, usamos equações paramétricas. Isso significa que vamos expressar as coordenadas e do ponto na cicloide em função de um parâmetro, geralmente o ângulo que a roda gira.

Passo 4

Vamos definir as variáveis:
  • é o raio da roda, que é 25 cm.
  • é o ângulo que a roda gira em radianos.

Passo 5

A posição horizontal do ponto na cicloide pode ser descrita por:
Isso porque conforme a roda gira, o ponto avança horizontalmente com a roda, mas também oscila para frente e para trás devido à rotação.

Passo 6

A posição vertical do ponto na cicloide é dada por:
Aqui, a altura do ponto varia entre 0 e à medida que a roda gira, formando o movimento ascendente e descendente da cicloide.

Resposta

A equação vetorial da curva descrita pela cabeça do prego é:
Onde é o ângulo em radianos que a roda gira.

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(a)
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(d)
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