Seja z = x + i y, com x e y reais. Seja f(z) = e^z. Encontre as partes real e imaginária de f em termos de x e y e, usando as equações de Cauchy-Riemann, demonstre que f(z) = e^z é inteira (analítica em todo o plano complexo).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos pede para analisar a função , onde e e são números reais. Nosso objetivo é:
  1. Encontrar as partes real e imaginária de em termos de e .
  2. Usar as equações de Cauchy-Riemann para mostrar que é uma função inteira, ou seja, analítica em todo o plano complexo.
Para isso, vamos precisar entender como expressar exponenciais de números complexos e aplicar as equações de Cauchy-Riemann, que são fundamentais para determinar se uma função é analítica.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as partes real e imaginária de . Sabemos que , então podemos escrever:
Agora, usamos a propriedade dos exponenciais que diz que . Aplicando isso:

Passo 3

Agora, precisamos expressar em termos das funções trigonométricas seno e cosseno. A fórmula de Euler nos diz que:
Substituindo de volta na expressão de :

Passo 4

Vamos separar as partes real e imaginária de . Multiplicando pelos termos dentro dos parênteses:
Portanto, temos:
á

Passo 5

Agora, vamos usar as equações de Cauchy-Riemann para mostrar que é analítica. Primeiro, identificamos as funções e que representam, respectivamente, as partes real e imaginária de :
As equações de Cauchy-Riemann dizem que, para ser analítica, devem ser satisfeitas as seguintes condições:

Passo 6

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Primeiro, a derivada de em relação a :
Agora, a derivada de em relação a :
Vemos que:

Passo 7

Agora, vamos calcular a derivada de em relação a :
E a derivada de em relação a :
Então:

Passo 8

Como as duas condições das equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas:
E as funções e possuem derivadas contínuas em todo o plano complexo, concluímos que é uma função inteira, ou seja, analítica em todo o plano complexo.

Resposta

As partes real e imaginária de são, respectivamente, e . Além disso, usando as equações de Cauchy-Riemann, mostramos que é uma função inteira, ou seja, analítica em todo o plano complexo.

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