Seja
, com
e
reais. Seja
. Encontre as partes real e imaginária de
em termos de
e
e, usando as equações de Cauchy-Riemann, demonstre que
é inteira (analítica em todo o plano complexo).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema nos pede para analisar a função
, onde
e
e
são números reais. Nosso objetivo é:
- Encontrar as partes real e imaginária de
em termos de e . - Usar as equações de Cauchy-Riemann para mostrar que
é uma função inteira, ou seja, analítica em todo o plano complexo.
Para isso, vamos precisar entender como expressar exponenciais de números complexos e aplicar as equações de Cauchy-Riemann, que são fundamentais para determinar se uma função é analítica.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as partes real e imaginária de
. Sabemos que
, então podemos escrever:
Agora, usamos a propriedade dos exponenciais que diz que
. Aplicando isso:
Passo 3
Agora, precisamos expressar
em termos das funções trigonométricas seno e cosseno. A fórmula de Euler nos diz que:
Substituindo de volta na expressão de
:
Passo 4
Vamos separar as partes real e imaginária de
. Multiplicando
pelos termos dentro dos parênteses:
Portanto, temos:
Passo 5
Agora, vamos usar as equações de Cauchy-Riemann para mostrar que
é analítica. Primeiro, identificamos as funções
e
que representam, respectivamente, as partes real e imaginária de
:
As equações de Cauchy-Riemann dizem que, para
ser analítica, devem ser satisfeitas as seguintes condições:
Passo 6
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Primeiro, a derivada de
em relação a
:
Agora, a derivada de
em relação a
:
Vemos que:
Passo 7
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
E a derivada de
em relação a
:
Então:
Passo 8
Como as duas condições das equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas:
E as funções
e
possuem derivadas contínuas em todo o plano complexo, concluímos que
é uma função inteira, ou seja, analítica em todo o plano complexo.
Resposta
As partes real e imaginária de
são, respectivamente,
e
. Além disso, usando as equações de Cauchy-Riemann, mostramos que
é uma função inteira, ou seja, analítica em todo o plano complexo.
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Escreva as definições de
e
em termos da função exponencial e, usando as formas exponenciais demonstre que
Um número complexo,
, tem argumento
radianos. Usando a convenção do que
, determine o valor principal do argumento,
, em radianos.
Determine o domínio das seguintes funções:
(a)
(a)
Chama-se cicloide uma curva plana descrita por um ponto
de uma circunferência de raio
, centrado em
, que rola, sem deslizamento, sobre o eixo Ox. Sabendo dessas informações, determine a equação vetorial da curva descrita pelo movimento de uma cabeça de prego em um pneu de um carro que se move em linha reta, se o raio do pneu é de 25 cm.