Seja z = raiz(3) + i. Usando a convenção do que Arg(z) in [0, 2pi], escreva z em forma exponencial, r * e^(i * theta), e assim calcule z^10, escrevendo o resultado final em forma cartesiana. (1,0)

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um número complexo . A tarefa é transformar esse número na forma exponencial, que é , onde é o módulo e é o argumento de . Depois, vamos calcular usando essa forma exponencial e, por fim, converter o resultado de volta para a forma cartesiana, que é . Para isso, vamos precisar entender como calcular o módulo e o argumento de um número complexo e usar a fórmula de De Moivre para potências.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o módulo de . O módulo de um número complexo é dado por:
Aqui, e . Então:

Passo 3

Agora, vamos determinar o argumento de . O argumento é o ângulo que o número complexo faz com o eixo real no plano complexo. Ele pode ser calculado usando a tangente inversa:
Substituindo os valores:
Sabemos que , então:

Passo 4

Com o módulo e o argumento , podemos escrever na forma exponencial:

Passo 5

Agora, vamos calcular usando a fórmula de De Moivre, que diz que:
Substituindo os valores:

Passo 6

Para expressar na forma cartesiana, precisamos converter de volta da forma exponencial usando:
Então:

Passo 7

Vamos calcular os valores de e . Sabemos que:
Substituindo:

Resposta

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