Chama-se traço de uma matriz quadrada a soma dos elementos de sua diagonal principal, denotamos o traço de uma matriz por . Determine e na matriz para que tr(A)=9 e x seja o triplo de y.
Passo 1
Vamos lá! O enunciado nos dá uma matriz quadrada lll1 & 2 & 3 0 & x & 4 0 & 0 & y. A gente precisa encontrar os valores de e de forma que o traço da matriz, que é a soma dos elementos da diagonal principal, seja igual a 9. Além disso, foi dito que é o triplo de . Para resolver isso, vamos usar a definição do traço e montar um sistema de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o traço da matriz tr(A) = 1 + x + y . A diagonal principal de é formada pelos elementos , e . Então, o traço é:
Passo 3
Sabemos que o traço da matriz deve ser igual a 9. Portanto, podemos escrever a seguinte equação:
1 + x + y = 9
Passo 4
Também nos foi dado que x = 3y é o triplo de . Isso significa que:
Passo 5
Agora, temos um sistema de duas equações:
1 + x + y = 9 x = 3y
Vamos substituir 1 + 3y + y = 9 por 1 + 4y = 9 na primeira equação:
4y = 8
Simplificando:
y = 2
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Dividindo por 4:
Passo 6
Agora que encontramos x = 3 times 2 = 6 , vamos encontrar usando a relação :