Chama-se traço de uma matriz quadrada a soma dos elementos de sua diagonal principal, denotamos o traço de uma matriz A por tr(A). Determine x e y na matriz A=[lll1 & 2 & 3 0 & x & 4 0 & 0 & y] para que tr(A)=9 e x seja o triplo de y.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos dá uma matriz quadrada lll1 & 2 & 3 0 & x & 4 0 & 0 & y. A gente precisa encontrar os valores de e de forma que o traço da matriz, que é a soma dos elementos da diagonal principal, seja igual a 9. Além disso, foi dito que é o triplo de . Para resolver isso, vamos usar a definição do traço e montar um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o traço da matriz tr(A) = 1 + x + y . A diagonal principal de é formada pelos elementos , e . Então, o traço é:

Passo 3

Sabemos que o traço da matriz deve ser igual a 9. Portanto, podemos escrever a seguinte equação:
1 + x + y = 9

Passo 4

Também nos foi dado que x = 3y é o triplo de . Isso significa que:

Passo 5

Agora, temos um sistema de duas equações:
1 + x + y = 9 x = 3y
Vamos substituir 1 + 3y + y = 9 por 1 + 4y = 9 na primeira equação:
4y = 8
Simplificando:
y = 2
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Dividindo por 4:

Passo 6

Agora que encontramos x = 3 times 2 = 6 , vamos encontrar usando a relação :

Resposta

Os valores são e .

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