Encontre as interseções entre o plano x+y+z=1 e a superfície quadrática 3 x^2+4 y^2-z^2=9. Descreva a cônica resultante.**

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar onde o plano cruza a superfície quadrática . Basicamente, vamos resolver esse sistema de equações para descobrir os pontos de interseção e depois ver que tipo de cônica a gente vai ter como resultado. Para isso, vamos precisar de um pouco de álgebra e conhecimento sobre superfícies quadráticas.

Passo 2

Primeiro, vamos isolar uma das variáveis em uma das equações. Vamos pegar o plano z = 1 - x - y e resolver para :
Isso vai facilitar na hora de substituir na outra equação.

Passo 3

Agora que temos 3x^2 + 4y^2 - (1 - x - y)^2 = 9 em termos de e , vamos substituir essa expressão na equação da superfície quadrática:
Vamos expandir o termo para simplificar a equação.

Passo 4

Expandindo (1 - x - y)^2 = 1 - 2x - 2y + x^2 + 2xy + y^2 :
3x^2 + 4y^2 - (1 - 2x - 2y + x^2 + 2xy + y^2) = 9
Substituindo de volta na equação:

Passo 5

Vamos distribuir o sinal negativo e simplificar a equação:
3x^2 + 4y^2 - 1 + 2x + 2y - x^2 - 2xy - y^2 = 9
Combinando os termos semelhantes:
(3x^2 - x^2) + (4y^2 - y^2) + 2x + 2y - 2xy - 1 = 9
O que resulta em:
2x^2 + 3y^2 + 2x + 2y - 2xy - 1 = 9

Passo 6

Vamos trazer o 9 para o lado esquerdo da equação:
2x^2 + 3y^2 + 2x + 2y - 2xy - 10 = 0
Agora, a gente tem uma equação quadrática em e que representa a cônica resultante da interseção.

Passo 7

Para identificar que tipo de cônica é essa, vamos reescrever a equação de uma forma mais padrão. Observando os coeficientes e os termos cruzados, vemos que há um termo , o que sugere que a cônica pode ser uma elipse inclinada, uma hipérbole ou ainda outra forma dependendo dos coeficientes.

Passo 8

Outra maneira de identificar a cônica é calculando o discriminante da equação geral da cônica:
De
Onde:
A = 2, B = -2, C = 3
Calculando:
De
Como o discriminante é negativo ( ), isso indica que a cônica é uma elipse.

Resposta

As interseções entre o plano e a superfície quadrática formam uma elipse.

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