Encontre as interseções entre o plano
e a superfície quadrática
. Descreva a cônica resultante.**
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar onde o plano
cruza a superfície quadrática
. Basicamente, vamos resolver esse sistema de equações para descobrir os pontos de interseção e depois ver que tipo de cônica a gente vai ter como resultado. Para isso, vamos precisar de um pouco de álgebra e conhecimento sobre superfícies quadráticas.
Passo 2
Primeiro, vamos isolar uma das variáveis em uma das equações. Vamos pegar o plano
e resolver para
:
Isso vai facilitar na hora de substituir na outra equação.
Passo 3
Agora que temos
em termos de
e
, vamos substituir essa expressão na equação da superfície quadrática:
Vamos expandir o termo
para simplificar a equação.
Passo 4
Expandindo
:
Substituindo de volta na equação:
Passo 5
Vamos distribuir o sinal negativo e simplificar a equação:
Combinando os termos semelhantes:
O que resulta em:
Passo 6
Vamos trazer o 9 para o lado esquerdo da equação:
Agora, a gente tem uma equação quadrática em
e
que representa a cônica resultante da interseção.
Passo 7
Para identificar que tipo de cônica é essa, vamos reescrever a equação de uma forma mais padrão. Observando os coeficientes e os termos cruzados, vemos que há um termo
, o que sugere que a cônica pode ser uma elipse inclinada, uma hipérbole ou ainda outra forma dependendo dos coeficientes.
Passo 8
Outra maneira de identificar a cônica é calculando o discriminante da equação geral da cônica:
Onde:
Calculando:
Como o discriminante é negativo (
), isso indica que a cônica é uma elipse.
Resposta
As interseções entre o plano
e a superfície quadrática
formam uma elipse.