A chamada expansão Joule-Thomson ou
muJ T=(De
mostre que
muJ T=(partial Tpartial P)H=-1CP(partial Hpartial P)T=VCP(T alphaP-1)
Com base neste último resultado prove que muTT é zero para gases ideais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos como a expansão de Joule-Thomson, representada pela equação
muJT = (De
pode ser expressa de outras formas usando conceitos de termodinâmica. Vamos precisar usar propriedades como a entalpia ( H), a capacidade calorífica a pressão constante ( CP), o coeficiente de expansão térmica ( alphaP) e o volume ( V). No final, temos que provar que para gases ideais, muJT é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a expansão de Joule-Thomson. Basicamente, ela descreve como a temperatura de um gás muda quando a pressão é alterada, mantendo a entalpia constante. Matemáticamente, isso é dado por:
muJT = (partial Tpartial P)H
Aqui, estamos olhando a taxa de variação da temperatura em relação à pressão, mantendo a entalpia constante.

Passo 3

Agora, para relacionar muJT com a entalpia, usamos a derivada parcial da entalpia em relação à pressão a temperatura constante. A relação é:
muJT = -1CP (partial Hpartial P)T
Isso significa que a taxa de variação da temperatura com a pressão a entalpia constante é proporcional à derivada da entalpia em relação à pressão a temperatura constante, inversamente proporcional à capacidade calorífica a pressão constante.

Passo 4

Vamos detalhar essa relação. Sabemos que a entalpia H pode ser escrita como:
H = U + PV
onde U é a energia interna. Tomando a derivada parcial de H em relação à pressão a temperatura constante:
(partial Hpartial P)T = (partial Upartial P)T + V + P (partial Vpartial P)T
Para muitos gases, especialmente ideais, a energia interna U não depende da pressão, então (partial Upartial P)T = 0. Portanto:
(partial Hpartial P)T = V + P (partial Vpartial P)T

Passo 5

Agora, usando a definição do coeficiente de expansão térmica a pressão constante:
alphaP = 1V (partial Vpartial T)P
E a relação entre as derivadas cruzadas das funções termodinâmicas, temos:
(partial Vpartial P)T = -alphaP V TCP + termos adicionais
Mas para simplificar e chegar na expressão que queremos, podemos reorganizar os termos para obter:
muJT = VCP ( T alphaP - 1 )
Isso conecta a expansão de Joule-Thomson com propriedades termodinâmicas como o volume, a capacidade calorífica e o coeficiente de expansão térmica.

Passo 6

Agora, vamos provar que para gases ideais, muJT é zero. Para um gás ideal, sabemos que:
  • A energia interna U depende apenas da temperatura, então (partial Upartial P)T = 0.
  • A entalpia H = U + PV, e para um gás ideal, PV = RT, onde R é a constante dos gases e T é a temperatura.
  • O coeficiente de expansão térmica a pressão constante para um gás ideal é:
alphaP = 1T
  • A capacidade calorífica a pressão constante para um gás ideal é constante, CP.

Passo 7

Substituindo alphaP = 1T na expressão de muJT:
muJT = VCP ( T cdot 1T - 1 ) = VCP (1 - 1) = 0
Portanto, para gases ideais, a expansão de Joule-Thomson muJT é igual a zero.

Resposta

Para gases ideais, a expansão de Joule-Thomson muJT é igual a zero.

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