A chamada expansão Joule-Thomson ou
mostre que
Com base neste último resultado prove que é zero para gases ideais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos como a expansão de Joule-Thomson, representada pela equação
pode ser expressa de outras formas usando conceitos de termodinâmica. Vamos precisar usar propriedades como a entalpia ( ), a capacidade calorífica a pressão constante ( ), o coeficiente de expansão térmica ( ) e o volume ( ). No final, temos que provar que para gases ideais, é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a expansão de Joule-Thomson. Basicamente, ela descreve como a temperatura de um gás muda quando a pressão é alterada, mantendo a entalpia constante. Matemáticamente, isso é dado por:
Aqui, estamos olhando a taxa de variação da temperatura em relação à pressão, mantendo a entalpia constante.

Passo 3

Agora, para relacionar com a entalpia, usamos a derivada parcial da entalpia em relação à pressão a temperatura constante. A relação é:
Isso significa que a taxa de variação da temperatura com a pressão a entalpia constante é proporcional à derivada da entalpia em relação à pressão a temperatura constante, inversamente proporcional à capacidade calorífica a pressão constante.

Passo 4

Vamos detalhar essa relação. Sabemos que a entalpia pode ser escrita como:
onde é a energia interna. Tomando a derivada parcial de em relação à pressão a temperatura constante:
Para muitos gases, especialmente ideais, a energia interna não depende da pressão, então . Portanto:

Passo 5

Agora, usando a definição do coeficiente de expansão térmica a pressão constante:
E a relação entre as derivadas cruzadas das funções termodinâmicas, temos:
Mas para simplificar e chegar na expressão que queremos, podemos reorganizar os termos para obter:
Isso conecta a expansão de Joule-Thomson com propriedades termodinâmicas como o volume, a capacidade calorífica e o coeficiente de expansão térmica.

Passo 6

Agora, vamos provar que para gases ideais, é zero. Para um gás ideal, sabemos que:
  • A energia interna depende apenas da temperatura, então .
  • A entalpia , e para um gás ideal, , onde é a constante dos gases e é a temperatura.
  • O coeficiente de expansão térmica a pressão constante para um gás ideal é:
  • A capacidade calorífica a pressão constante para um gás ideal é constante, .

Passo 7

Substituindo na expressão de :
Portanto, para gases ideais, a expansão de Joule-Thomson é igual a zero.

Resposta

Para gases ideais, a expansão de Joule-Thomson é igual a zero.

Exercícios relacionados

Mostre que, para um líquido, o trabalho de expansão pode ser escrito como
e que, supondo que os coeficientes térmicos se mantenham constantes no intervalo de temperatura e pressão considerados, chega-se à expressão
O potencial de corte para elétrons emitidos por uma superfície atingida por luz de comprimento de onda é . Quando se muda o comprimento de onda da radiação incidente encontra-se para este potencial um valor de . Qual é o valor do comprimento de onda da luz?
Calcule o calor envolvido no aquecimento isobárico e reversível de 1 mol de grafite desde até , sabendo que
onde, para o grafite
Calcule o trabalho realizado pelo sistema em uma expansão isotérmica de 1 mol de um gás ideal, a C, partindo de um estado inicial de pressão igual a 1 atm e chegando-se a um estado final de pressão , supondo que a expansão se dê:
a) em uma única etapa irreversível contra uma pressão externa de 0,2 atm.