A chamada expansão Joule-Thomson ou
mostre que
Com base neste último resultado prove que
é zero para gases ideais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos como a expansão de Joule-Thomson, representada pela equação
pode ser expressa de outras formas usando conceitos de termodinâmica. Vamos precisar usar propriedades como a entalpia (
), a capacidade calorífica a pressão constante (
), o coeficiente de expansão térmica (
) e o volume (
). No final, temos que provar que para gases ideais,
é zero.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a expansão de Joule-Thomson. Basicamente, ela descreve como a temperatura de um gás muda quando a pressão é alterada, mantendo a entalpia constante. Matemáticamente, isso é dado por:
Aqui, estamos olhando a taxa de variação da temperatura em relação à pressão, mantendo a entalpia constante.
Passo 3
Agora, para relacionar
com a entalpia, usamos a derivada parcial da entalpia em relação à pressão a temperatura constante. A relação é:
Isso significa que a taxa de variação da temperatura com a pressão a entalpia constante é proporcional à derivada da entalpia em relação à pressão a temperatura constante, inversamente proporcional à capacidade calorífica a pressão constante.
Passo 4
Vamos detalhar essa relação. Sabemos que a entalpia
pode ser escrita como:
onde
é a energia interna. Tomando a derivada parcial de
em relação à pressão a temperatura constante:
Para muitos gases, especialmente ideais, a energia interna
não depende da pressão, então
. Portanto:
Passo 5
Agora, usando a definição do coeficiente de expansão térmica a pressão constante:
E a relação entre as derivadas cruzadas das funções termodinâmicas, temos:
Mas para simplificar e chegar na expressão que queremos, podemos reorganizar os termos para obter:
Isso conecta a expansão de Joule-Thomson com propriedades termodinâmicas como o volume, a capacidade calorífica e o coeficiente de expansão térmica.
Passo 6
Agora, vamos provar que para gases ideais,
é zero. Para um gás ideal, sabemos que:
- A energia interna
depende apenas da temperatura, então . - A entalpia
, e para um gás ideal, , onde é a constante dos gases e é a temperatura. - O coeficiente de expansão térmica a pressão constante para um gás ideal é:
- A capacidade calorífica a pressão constante para um gás ideal é constante,
.
Passo 7
Substituindo
na expressão de
:
Portanto, para gases ideais, a expansão de Joule-Thomson
é igual a zero.
Resposta
Para gases ideais, a expansão de Joule-Thomson
é igual a zero.