Mostre que, para um líquido, o trabalho de expansão pode ser escrito como
e que, supondo que os coeficientes térmicos se mantenham constantes no intervalo de temperatura e pressão considerados, chega-se à expressão

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que demonstrar duas coisas sobre o trabalho de expansão de um líquido:
  1. Expressão diferencial do trabalho de expansão:
  2. Expressão integrada assumindo coeficientes térmicos constantes:
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como trabalho termodinâmico, coeficientes térmicos ( e ) e integrais básicas.

Passo 2

Vamos começar lembrando que o trabalho ( ) realizado por um sistema durante uma expansão ou compressão é dado por:
onde é a pressão e é a variação de volume.

Passo 3

Para relacionar a variação de volume ( ) com variações de temperatura ( ) e pressão ( ), usamos os coeficientes térmicos. Os coeficientes de expansão e compressão são definidos como:
  • Coeficiente de expansão isobárica ( ):
  • Coeficiente de compressibilidade isoterma ( ):

Passo 4

Usando a expansão em série para , temos:
Substituindo os coeficientes definidos:

Passo 5

Agora, substituímos na expressão do trabalho:
Distribuindo o :
Ou, de forma mais compacta:
Isso confirma a primeira parte da questão.

Passo 6

Agora, vamos integrar a expressão para obter o trabalho total . Assumindo que os coeficientes térmicos ( e ) são constantes, a integração fica mais simples.
Integramos cada termo separadamente:

Passo 7

Como e são constantes e assumindo que e também são constantes durante cada integração (para simplificação), temos:
Simplificando o segundo termo:

Resposta

Portanto, o trabalho de expansão para um líquido com coeficientes térmicos constantes é dado por:

Exercícios relacionados

O potencial de corte para elétrons emitidos por uma superfície atingida por luz de comprimento de onda é . Quando se muda o comprimento de onda da radiação incidente encontra-se para este potencial um valor de . Qual é o valor do comprimento de onda da luz?
Na superficie de uma barra polida de prata incide radiação amarela cuja frequência é . Sabendo-se que a função trabalho da prata é .s. (a) Haverá ou não efeito fotoelétrico? (b) Qual é o valor da frequência de corte?
A chamada expansão Joule-Thomson ou
mostre que
Com base neste último resultado prove que é zero para gases ideais.
Calcule o calor envolvido no aquecimento isobárico e reversível de 1 mol de grafite desde até , sabendo que
onde, para o grafite