Mostre que, para um líquido, o trabalho de expansão pode ser escrito como
d w=-P V(alphaP d T-betaT d P)
e que, supondo que os coeficientes térmicos se mantenham constantes no intervalo de temperatura e pressão considerados, chega-se à expressão
w=-alphaP P V(T2-T1)+betaT2(P2^2-P1^2)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que demonstrar duas coisas sobre o trabalho de expansão de um líquido:
  1. Expressão diferencial do trabalho de expansão:
    dw = -P V(alphaP d T - betaT d P)
  2. Expressão integrada assumindo coeficientes térmicos constantes:
    w = -alphaP P V(T2 - T1) + betaT2(P2^2 - P1^2)
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como trabalho termodinâmico, coeficientes térmicos ( e ) e integrais básicas.

Passo 2

Vamos começar lembrando que o trabalho ( dw = -P dV ) realizado por um sistema durante uma expansão ou compressão é dado por:
onde é a pressão e é a variação de volume.

Passo 3

Para relacionar a variação de volume ( alphaP = 1V ( partial Vpartial T )P ) com variações de temperatura ( betaT = -1V ( partial Vpartial P )T ) e pressão ( ), usamos os coeficientes térmicos. Os coeficientes de expansão e compressão são definidos como:
  • Coeficiente de expansão isobárica ( ):
  • Coeficiente de compressibilidade isoterma ( ):

Passo 4

Usando a expansão em série para dV = ( partial Vpartial T )P dT + ( partial Vpartial P )T dP , temos:
dV = V alphaP dT - V betaT dP
Substituindo os coeficientes definidos:

Passo 5

Agora, substituímos dw = -P dV = -P ( V alphaP dT - V betaT dP ) na expressão do trabalho:
dw = -P V alphaP dT + P V betaT dP
Distribuindo o dw = -P V ( alphaP dT - betaT dP ) :
Ou, de forma mais compacta:
Isso confirma a primeira parte da questão.

Passo 6

Agora, vamos integrar a expressão para obter o trabalho total w = -integralT1^T2 P V alphaP dT + integralP1^P2 P V betaT dP . Assumindo que os coeficientes térmicos ( e ) são constantes, a integração fica mais simples.
Integramos cada termo separadamente:

Passo 7

Como w = -alphaP P V (T2 - T1) + betaT P V ( P2^2 - P1^22 ) e w = -alphaP P V (T2 - T1) + betaT2 ( P2^2 - P1^2 ) são constantes e assumindo que e também são constantes durante cada integração (para simplificação), temos:
Simplificando o segundo termo:

Resposta

Portanto, o trabalho de expansão para um líquido com coeficientes térmicos constantes é dado por:
w = -alphaP P V(T2 - T1) + betaT2(P2^2 - P1^2)

Exercícios relacionados