A chamada lei do resfriamento de Newton é expressa pela equação T'(t) = -k(T - Ta), onde T(t) representa a temperatura de um corpo no tempo t, Ta a temperatura do meio ambiente (suposta constante) e k > 0 a condutividade térmica do material que constitui o corpo (também suposta constante). Determine a evolução da temperatura no tempo, T(t), supondo que a temperatura inicial do corpo é T(0) = T0. Conclua que T(t) tende a Ta quando t -> +infinito.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a Lei do Resfriamento de Newton, que nos ajuda a entender como a temperatura de um corpo muda ao longo do tempo quando ele está em um ambiente com temperatura constante. A gente precisa descobrir a função que representa a temperatura do corpo em qualquer tempo , sabendo que inicialmente a temperatura é . Para resolver isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a equação que descreve a Lei do Resfriamento de Newton:
Aqui, é a derivada de em relação ao tempo , é a temperatura do ambiente, e é uma constante positiva que depende do material.

Passo 3

Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, podemos usar o método do fator integrante. Primeiro, vamos reescrever a equação:

Passo 4

Agora, encontramos o fator integrante ( ):
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:

Passo 5

Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto :
Integrando ambos os lados em relação a :

Passo 6

Agora, isolamos :

Passo 7

Para encontrar a constante , usamos a condição inicial :

Passo 8

Substituindo na expressão de :

Passo 9

Finalmente, observamos o comportamento de quando tende ao infinito:
Isso mostra que a temperatura do corpo tende a igualar a temperatura do ambiente à medida que o tempo passa.

Resposta

A evolução da temperatura no tempo é dada por:
E, de fato, quando , aproxima-se de .

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