A chamada lei do resfriamento de Newton é expressa pela equação
, onde
representa a temperatura de um corpo no tempo
a temperatura do meio ambiente (suposta constante) e
a condutividade térmica do material que constitui o corpo (também suposta constante). Determine a evolução da temperatura no tempo,
, supondo que a temperatura inicial do corpo é
. Conclua que
tende a
quando
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a Lei do Resfriamento de Newton, que nos ajuda a entender como a temperatura de um corpo muda ao longo do tempo quando ele está em um ambiente com temperatura constante. A gente precisa descobrir a função
que representa a temperatura do corpo em qualquer tempo
, sabendo que inicialmente a temperatura é
. Para resolver isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a equação que descreve a Lei do Resfriamento de Newton:
Aqui,
é a derivada de
em relação ao tempo
,
é a temperatura do ambiente, e
é uma constante positiva que depende do material.
Passo 3
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, podemos usar o método do fator integrante. Primeiro, vamos reescrever a equação:
Passo 4
Agora, encontramos o fator integrante (
):
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Passo 5
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Integrando ambos os lados em relação a
:
Passo 6
Agora, isolamos
:
Passo 7
Para encontrar a constante
, usamos a condição inicial
:
Passo 8
Substituindo
na expressão de
:
Passo 9
Finalmente, observamos o comportamento de
quando
tende ao infinito:
Isso mostra que a temperatura do corpo tende a igualar a temperatura do ambiente à medida que o tempo passa.
Resposta
A evolução da temperatura no tempo é dada por:
E, de fato, quando
,
aproxima-se de
.