Indique os domínios das funções dadas e derive-as: ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente descobrir o domínio da função e também derivar essa função. Isso envolve entender o que é domínio de uma função e como fazer derivadas, que são parte do estudo de funções trigonométricas no cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. No caso das funções trigonométricas como o seno e o cosseno, elas estão definidas para todos os números reais. Ou seja, não tem nenhum valor de que faça ou ser indefinido.

Passo 3

Agora, vamos derivar a função . Para isso, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de duas funções multiplicadas é a primeira derivada da primeira função vezes a segunda função mais a primeira função vezes a derivada da segunda função.
Então, aplicando isso:
Sabemos que e , então substituindo:
Isso também pode ser escrito usando a identidade trigonométrica do cosseno duplo:

Resposta

O domínio da função é todos os números reais, ou seja, . A derivada da função é .

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