Indique os domínios das funções dadas e derive-as:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente indicar os domínios da função dada e também derivá-la. A função que temos é:
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de domínio de funções e derivação.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função
. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida.
No nosso caso, a função é uma fração, então precisamos garantir que o denominador não seja zero. O denominador aqui é , que é a tangente de
.
Sabemos que a tangente de
é zero quando
, onde
é um inteiro. Portanto, é zero nesses pontos, e nossa função
não estará definida aqui.
Além disso, como estamos lidando com funções trigonométricas, devemos lembrar que o seno e o cosseno estão definidos para todos os números reais. Então, a única restrição vem do denominador.
Passo 3
Agora, vamos derivar a função
. Para isso, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a derivação. Sabemos que:
Então, podemos reescrever
assim:
Para derivar essa função, vamos usar a regra do quociente, que diz que se temos uma função na forma
, sua derivada é:
Vamos identificar e .
Passo 4
Calculando as derivadas de
e
:
Primeiro, derivamos
:
Usamos a regra da cadeia para
:
E para , usamos a regra do produto:
Então:
Agora, derivamos :
Passo 5
Aplicando a regra do quociente:
Substituindo
:
Vamos simplificar o numerador:
Simplificando termo a termo:
Observamos que , então sobra:
Passo 6
Finalmente, temos:
Podemos simplificar dividindo cada termo do numerador por :
Simplificando mais:
Resposta
O domínio da função
é todos os reais exceto
, onde
é um inteiro. A derivada da função é:
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