Indique os domínios das funções dadas e derive-as: ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente indicar os domínios da função dada e também derivá-la. A função que temos é:
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de domínio de funções e derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função . O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.
No nosso caso, a função é uma fração, então precisamos garantir que o denominador não seja zero. O denominador aqui é , que é a tangente de .
Sabemos que a tangente de é zero quando , onde é um inteiro. Portanto, é zero nesses pontos, e nossa função não estará definida aqui.
Além disso, como estamos lidando com funções trigonométricas, devemos lembrar que o seno e o cosseno estão definidos para todos os números reais. Então, a única restrição vem do denominador.

Passo 3

Agora, vamos derivar a função . Para isso, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a derivação. Sabemos que:
Então, podemos reescrever assim:
Para derivar essa função, vamos usar a regra do quociente, que diz que se temos uma função na forma , sua derivada é:
Vamos identificar e .

Passo 4

Calculando as derivadas de e :
Primeiro, derivamos :
Usamos a regra da cadeia para :
E para , usamos a regra do produto:
Então:
Agora, derivamos :

Passo 5

Aplicando a regra do quociente:
Substituindo :
Vamos simplificar o numerador:
Simplificando termo a termo:
Observamos que , então sobra:

Passo 6

Finalmente, temos:
Podemos simplificar dividindo cada termo do numerador por :
Simplificando mais:

Resposta

O domínio da função é todos os reais exceto , onde é um inteiro. A derivada da função é:

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