Indique os domínios das funções dadas e derive-as:
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Passo 1
Aqui estamos trabalhando com a função
. O conteúdo envolve domínios de funções e derivadas. Vamos precisar entender o que define o domínio de uma função e como calcular a derivada de um produto de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função
. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida.
A função exponencial
está definida para todos os números reais. Como
também é definido para todos os reais e o produto de duas funções definidas em todo o conjunto dos números reais também está definido para todos esses números, concluímos que o domínio de
é
(todos os números reais).
Passo 3
Agora, vamos derivar a função
. Para isso, usamos a regra do produto, que diz que se temos uma função
, então sua derivada é:
Aqui, podemos identificar
e
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
e
:
Passo 5
Aplicando a regra do produto:
Resposta
O domínio da função
é todos os números reais,
, e a derivada da função é
.
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Resolva o PVI
onde
e
são coordenadas polares. A solução é a curva chamada Lemniscata.