Indique os domínios das funções dadas e derive-as: ;

Passo 1

Aqui estamos trabalhando com a função . O conteúdo envolve domínios de funções e derivadas. Vamos precisar entender o que define o domínio de uma função e como calcular a derivada de um produto de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função . O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.
A função exponencial está definida para todos os números reais. Como também é definido para todos os reais e o produto de duas funções definidas em todo o conjunto dos números reais também está definido para todos esses números, concluímos que o domínio de é (todos os números reais).

Passo 3

Agora, vamos derivar a função . Para isso, usamos a regra do produto, que diz que se temos uma função , então sua derivada é:
Aqui, podemos identificar e .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de e :

Passo 5

Aplicando a regra do produto:

Resposta

O domínio da função é todos os números reais, , e a derivada da função é .

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