Indique os domínios das funções dadas e derive-as:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o domínio da função
e também derivar essa função. Isso envolve entender o que é domínio de uma função e como calcular derivadas. Para resolver, vamos precisar conhecer um pouco sobre frações algébricas e as regras básicas de derivação, como a regra do quociente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função
. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. No caso de uma fração, a função está definida enquanto o denominador for diferente de zero.
Passo 3
Olhemos para o denominador da fração na função
, que é
. Para garantir que a função esteja definida, precisamos que:
Resolvendo essa inequação:
Sabemos que
quando
. Então,
não pode ser igual a zero.
Passo 4
Além disso, vamos verificar se há outras restrições. A função exponencial
está definida para todo número real
. Portanto, a única restrição para o domínio é
.
Passo 5
Agora vamos derivar a função
. A função é composta de uma constante 1 mais uma fração. A derivada de uma constante é zero, então precisamos apenas derivar a fração:
Para derivar essa fração, vamos usar a regra do quociente, que diz que se temos uma função
, a derivada é:
Passo 6
Vamos identificar
e
:
Agora, calculamos as derivadas:
Passo 7
Aplicando a regra do quociente:
Vamos simplificar o numerador:
Portanto, a derivada fica:
Resposta
O domínio da função
é todos os números reais exceto
, ou seja:
A derivada da função é:
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