Indique os domínios das funções dadas e derive-as: ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o domínio da função e também derivar essa função. Isso envolve entender o que é domínio de uma função e como calcular derivadas. Para resolver, vamos precisar conhecer um pouco sobre frações algébricas e as regras básicas de derivação, como a regra do quociente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função . O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. No caso de uma fração, a função está definida enquanto o denominador for diferente de zero.

Passo 3

Olhemos para o denominador da fração na função , que é . Para garantir que a função esteja definida, precisamos que:
Resolvendo essa inequação:
Sabemos que quando . Então, não pode ser igual a zero.

Passo 4

Além disso, vamos verificar se há outras restrições. A função exponencial está definida para todo número real . Portanto, a única restrição para o domínio é .

Passo 5

Agora vamos derivar a função . A função é composta de uma constante 1 mais uma fração. A derivada de uma constante é zero, então precisamos apenas derivar a fração:
Para derivar essa fração, vamos usar a regra do quociente, que diz que se temos uma função , a derivada é:

Passo 6

Vamos identificar e :
Agora, calculamos as derivadas:

Passo 7

Aplicando a regra do quociente:
Vamos simplificar o numerador:
Portanto, a derivada fica:

Resposta

O domínio da função é todos os números reais exceto , ou seja:
í
A derivada da função é:

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