Prove que o trabalho virtual total das forças generalizadas de vínculo é zero. Isto mostra que mesmo no caso de vínculos não-holônomos o princípio de Hamilton está em harmonia com o princípio de d
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que o trabalho virtual total das forças generalizadas de vínculo é zero. Isso está dentro da mecânica analítica, mais especificamente nos princípios de Hamilton e de d’Alembert. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são forças de vínculo, trabalho virtual e como esses princípios se relacionam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são forças de vínculo. Em um sistema mecânico, essas são forças que mantêm as restrições ou vínculos entre as partes do sistema. Por exemplo, um pêndulo tem uma força de vínculo na sua haste que impede que ele se mova livremente.
Passo 3
Agora, o que é trabalho virtual? Trabalho virtual é aquele realizado por forças durante uma variação virtual, ou seja, um pequeno deslocamento imaginário que respeita as restrições do sistema. É uma ferramenta poderosa para analisar sistemas em equilíbrio ou em movimento sem resolver as equações de movimento completas.
Passo 4
O próximo passo é entender o que significa o trabalho virtual total das forças de vínculo ser zero. Isso implica que, durante qualquer variação virtual admissível, as forças que mantêm as restrições não fazem trabalho. Em termos matemáticos, se chamarmos as forças de vínculo de
e as variações virtuais de
, então:
Passo 5
Vamos relacionar isso com o princípio de d’Alembert. Esse princípio afirma que a soma das forças efetivas (forças aplicadas menos as inerciais) multiplicadas pelas variações virtuais é zero:
Se considerarmos apenas as forças de vínculo, queremos mostrar que elas também satisfazem essa condição sem contribuir para o trabalho virtual total.
Passo 6
Para provar que o trabalho virtual total das forças de vínculo é zero, observamos que as variações virtuais
são tais que respeitam as restrições impostas pelos vínculos. Isso significa que qualquer força de vínculo está sempre perpendicular a essas variações, ou seja:
Portanto, somando para todas as forças de vínculo, temos:
Passo 7
Com isso, mostramos que mesmo para vínculos não-holônomos (que não podem ser integrados em restrições de posição), o trabalho virtual das forças de vínculo é zero. Isso garante que os princípios de Hamilton e de d’Alembert estão em harmonia, pois ambos consideram que as restrições não contribuem para o trabalho virtual total.
Resposta
O trabalho virtual total das forças generalizadas de vínculo é zero, o que confirma que, mesmo com vínculos não-holônomos, o princípio de Hamilton está em harmonia com o princípio de d’Alembert.
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, onde
. (a) Mostre que o vetor de Laplace-Runge-Lenz
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está contido no plano da órbita. © Tomando o produto escalar de
por
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