O chamado
Calcule o vetor e=-3 a+2 b+5 c+j. Calcule então seu módulo e o ângulo que faz com o eixo x positivo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o vetor e definido por e = -3 a + 2 b + 5 c + j. Depois, precisamos encontrar o módulo desse vetor e o ângulo que ele forma com o eixo x positivo. A matéria que estamos usando aqui é álgebra vetorial, especificamente operações com vetores como soma e multiplicação por escalar, além de como calcular módulo e ângulos entre vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos interpretar as componentes dos vetores a, b e c. Normalmente, em álgebra vetorial, usamos os vetores unitários i, j e k para representar as direções dos eixos x, y e z, respectivamente. Então, podemos assumir que:
  • a = i
  • b = j
  • c = k

Passo 3

Substituindo essas relações na expressão do vetor e, temos:
e = -3a + 2b + 5c + j = -3i + 2j + 5k + j
Agora, vamos combinar os termos semelhantes. Temos 2j + j = 3j. Então:
e = -3i + 3j + 5k

Passo 4

Agora que temos a representação do vetor e nas direções dos eixos, podemos calcular o módulo desse vetor. O módulo de um vetor v = vxi + vyj + vzk é dado por:
|v| = raizvx^2 + vy^2 + vz^2
Aplicando isso ao nosso vetor e:
|e| = raiz(-3)^2 + 3^2 + 5^2 = raiz9 + 9 + 25 = raiz43

Passo 5

Por fim, vamos encontrar o ângulo que o vetor e faz com o eixo x positivo. Para isso, usamos a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores. Como estamos comparando com o eixo x, que é representado pelo vetor unitário i, temos:
cos(theta) = e cdot i|e||i|
Sabemos que e cdot i = -3 e |i| = 1, então:
cos(theta) = -3raiz43 Rightarrow theta = arccos(-3raiz43)

Resposta

O vetor e é -3i + 3j + 5k, seu módulo é raiz43 e o ângulo que ele forma com o eixo x positivo é arccos(dfrac-3raiz43).

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