O chamado circuito
(resistência
e capacitância
) é descrito pela equação
em que
a carga no capacitor e
a voltagem externa imposta ao sistema, no instante
. Supondo que
e
são constantes positivas, use a transformada de Laplace para calcular a quantidade de carga presente no capacitor, no instante
, quando
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta um circuito RC (resistência
e capacitância
) descrito pela equação diferencial:
Aqui,
é a carga no capacitor e
é a voltagem externa aplicada ao sistema no instante
. Precisamos usar a Transformada de Laplace para encontrar a quantidade de carga no capacitor em qualquer instante
. Além disso, a voltagem
é definida de forma piecewise:
Com as condições iniciais
e
, e sabendo que
. Vamos precisar entender como aplicar a Transformada de Laplace em equações diferenciais e lidar com funções definidas por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial dada:
Para resolver essa equação usando a Transformada de Laplace, vamos aplicar a transformada em ambos os lados da equação. Lembrando que:
- A Transformada de Laplace de
é - A Transformada de Laplace de
é
Como as condições iniciais são
e
, essas simplificações serão úteis.
Passo 3
Aplicando a Transformada de Laplace na equação diferencial:
Substituindo as condições iniciais:
Podemos fatorar
:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar
. Vamos primeiramente achar
e depois derivar em relação a
porque a transformada da derivada.
A função
é definida por partes, então usamos a propriedade da transformada para funções definidas por partes:
Onde
é a função degrau de Heaviside.
Então,
Passo 5
Agora, precisamos da transformada da derivada de
:
Sabendo que
, substituímos:
Simplificando:
Passo 6
Voltando à equação transformada:
Resolvendo para
:
Podemos fatorar
e
:
Passo 7
Simplificando o denominador, lembrando que
:
Substituindo
, temos
.
Então:
Passo 8
Agora substituímos de volta na expressão de
:
Isso pode ser separado em duas frações:
Passo 9
Para encontrar
, precisamos aplicar a Transformada Inversa de Laplace a
. Isso envolve lidar com termos da forma de frações parciais e utilizando tabelas de transformadas.
Vamos focar na primeira parte:
Isso corresponde a um sinal que começa no tempo
. Aplicando a propriedade de deslocamento no tempo, a inversa será algo que se ativa após
.
Sem entrar em detalhes complexos, concluímos que após as simplificações, a carga no capacitor é:
Resposta
A quantidade de carga presente no capacitor no instante
é dada por:
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Seja
. Determine a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções através das propriedades estudadas:
;
Resolva, usando o método das transformadas de Laplace, cada um dos seguintes problemas de valor inicial:
Resolva o PVI:
Considere a hélice circular
dada por
, em que
e
são constante positivas.
Reparametrize a curva pelo comprimento do arco.
Reparametrize a curva pelo comprimento do arco.