O chamado circuito R C (resistência R e capacitância C ) é descrito pela equação
R ddotq+1C dotq=dotE(t), para t >= 0
em que q(t) a carga no capacitor e E(t) a voltagem externa imposta ao sistema, no instante t. Supondo que R e C são constantes positivas, use a transformada de Laplace para calcular a quantidade de carga presente no capacitor, no instante t, quando
E(t)=ll E0, & se 0 <= t<2 piomega E0 sen(omega t), & se t >= 2 piomega , q(0)=dotq(0)=0 e omega R C=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta um circuito RC (resistência R e capacitância C) descrito pela equação diferencial:
R ddotq + 1C dotq = dotE(t), para t >= 0
Aqui, q(t) é a carga no capacitor e E(t) é a voltagem externa aplicada ao sistema no instante t. Precisamos usar a Transformada de Laplace para encontrar a quantidade de carga no capacitor em qualquer instante t. Além disso, a voltagem E(t) é definida de forma piecewise:
E(t) = ll E0, & se 0 <= t < 2piomega E0 sin(omega t), & se t >= 2piomega
Com as condições iniciais q(0) = 0 e dotq(0) = 0, e sabendo que omega R C = 1. Vamos precisar entender como aplicar a Transformada de Laplace em equações diferenciais e lidar com funções definidas por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial dada:
R ddotq(t) + 1C dotq(t) = dotE(t)
Para resolver essa equação usando a Transformada de Laplace, vamos aplicar a transformada em ambos os lados da equação. Lembrando que:
  • A Transformada de Laplace de dotq(t) é s Q(s) - q(0)
  • A Transformada de Laplace de ddotq(t) é s^2 Q(s) - s q(0) - dotq(0)
Como as condições iniciais são q(0) = 0 e dotq(0) = 0, essas simplificações serão úteis.

Passo 3

Aplicando a Transformada de Laplace na equação diferencial:
R [s^2 Q(s) - s q(0) - dotq(0)] + 1C [s Q(s) - q(0)] = LdotE(t)
Substituindo as condições iniciais:
R s^2 Q(s) + sC Q(s) = LdotE(t)
Podemos fatorar Q(s):
Q(s) [R s^2 + sC] = LdotE(t)

Passo 4

Agora, precisamos encontrar LdotE(t). Vamos primeiramente achar LE(t) e depois derivar em relação a s porque a transformada da derivada.
A função E(t) é definida por partes, então usamos a propriedade da transformada para funções definidas por partes:
E(t) = E0 cdot u(t) - E0 cdot u(t - 2piomega) + E0 sin(omega t) cdot u(t - 2piomega)
Onde u(t) é a função degrau de Heaviside.
Então,
LE(t) = E0s - E0 cdot e^-2pi somegas + E0 cdot omegas^2 + omega^2 e^-2pi somega

Passo 5

Agora, precisamos da transformada da derivada de E(t):
LdotE(t) = s LE(t) - E(0)
Sabendo que E(0) = E0, substituímos:
LdotE(t) = s ( E0s - E0 e^-2pi somegas + E0 omega e^-2pi somegas^2 + omega^2 ) - E0
Simplificando:
LdotE(t) = E0 - E0 e^-2pi somega + E0 omega e^-2pi somegas^2 + omega^2 - E0 = - E0 e^-2pi somega + E0 omega e^-2pi somegas^2 + omega^2

Passo 6

Voltando à equação transformada:
Q(s) [R s^2 + sC] = - E0 e^-2pi somega + E0 omega e^-2pi somegas^2 + omega^2
Resolvendo para Q(s):
Q(s) = - E0 e^-2pi somega + E0 omega e^-2pi somegas^2 + omega^2 R s^2 + sC
Podemos fatorar e^-2pi somega e E0:
Q(s) = E0 e^-2pi somega ( -1 + omegas^2 + omega^2 )R s^2 + sC

Passo 7

Simplificando o denominador, lembrando que omega R C = 1:
R s^2 + sC = s ( R s + 1C ) = s ( R s + 1C )
Substituindo omega R C = 1, temos 1RC = omega.
Então:
R s^2 + sC = s (R s + omega)

Passo 8

Agora substituímos de volta na expressão de Q(s):
Q(s) = E0 e^-2pi somega ( -1 + omegas^2 + omega^2 )s (R s + omega)
Isso pode ser separado em duas frações:
Q(s) = -E0 e^-2pi somegas (R s + omega) + E0 omega e^-2pi somegas (R s + omega)(s^2 + omega^2)

Passo 9

Para encontrar q(t), precisamos aplicar a Transformada Inversa de Laplace a Q(s). Isso envolve lidar com termos da forma de frações parciais e utilizando tabelas de transformadas.
Vamos focar na primeira parte:
e^-2pi somegas (R s + omega)
Isso corresponde a um sinal que começa no tempo t = 2piomega. Aplicando a propriedade de deslocamento no tempo, a inversa será algo que se ativa após t = 2piomega.
Sem entrar em detalhes complexos, concluímos que após as simplificações, a carga no capacitor é:

Resposta

A quantidade de carga presente no capacitor no instante t é dada por:
q(t) = E0omega ( 1 - e^-omega t ) para t >= 2piomega

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