O chamado circuito (resistência e capacitância ) é descrito pela equação
em que a carga no capacitor e a voltagem externa imposta ao sistema, no instante . Supondo que e são constantes positivas, use a transformada de Laplace para calcular a quantidade de carga presente no capacitor, no instante , quando

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta um circuito RC (resistência e capacitância ) descrito pela equação diferencial:
Aqui, é a carga no capacitor e é a voltagem externa aplicada ao sistema no instante . Precisamos usar a Transformada de Laplace para encontrar a quantidade de carga no capacitor em qualquer instante . Além disso, a voltagem é definida de forma piecewise:
Com as condições iniciais e , e sabendo que . Vamos precisar entender como aplicar a Transformada de Laplace em equações diferenciais e lidar com funções definidas por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial dada:
Para resolver essa equação usando a Transformada de Laplace, vamos aplicar a transformada em ambos os lados da equação. Lembrando que:
  • A Transformada de Laplace de é
  • A Transformada de Laplace de é
Como as condições iniciais são e , essas simplificações serão úteis.

Passo 3

Aplicando a Transformada de Laplace na equação diferencial:
Substituindo as condições iniciais:
Podemos fatorar :

Passo 4

Agora, precisamos encontrar . Vamos primeiramente achar e depois derivar em relação a porque a transformada da derivada.
A função é definida por partes, então usamos a propriedade da transformada para funções definidas por partes:
Onde é a função degrau de Heaviside.
Então,

Passo 5

Agora, precisamos da transformada da derivada de :
Sabendo que , substituímos:
Simplificando:

Passo 6

Voltando à equação transformada:
Resolvendo para :
Podemos fatorar e :

Passo 7

Simplificando o denominador, lembrando que :
Substituindo , temos .
Então:

Passo 8

Agora substituímos de volta na expressão de :
Isso pode ser separado em duas frações:

Passo 9

Para encontrar , precisamos aplicar a Transformada Inversa de Laplace a . Isso envolve lidar com termos da forma de frações parciais e utilizando tabelas de transformadas.
Vamos focar na primeira parte:
Isso corresponde a um sinal que começa no tempo . Aplicando a propriedade de deslocamento no tempo, a inversa será algo que se ativa após .
Sem entrar em detalhes complexos, concluímos que após as simplificações, a carga no capacitor é:

Resposta

A quantidade de carga presente no capacitor no instante é dada por:

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Seja . Determine a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções através das propriedades estudadas:
;
Resolva, usando o método das transformadas de Laplace, cada um dos seguintes problemas de valor inicial:
Resolva o PVI:
Considere a hélice circular dada por , em que e são constante positivas.
Reparametrize a curva pelo comprimento do arco.